z变换在信号与系统中的应用_对一个典型二阶系统输入一脉冲信号

z变换及其性质

1 z变换定义及收敛域

拉氏变换把连续系统微分方程转换为代数方程，同样地，也可以通过一种称为$z$变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。

1 z变换导出

对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号。

取样信号：

$$f_S(t)=f(t){\delta }_T(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(kT)\delta (t-kT)$$

两边取双边拉普拉斯变换，得：

$$F_{Sb}(s)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(kT){\mathrm{e}}^{-kTs}$$

令$z=e^{sT}$，上式将成为复变量$z$的函数，用$F(z)$表示；$f(kT)\to f(k)$，得到：
$$F(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k)z^{-k}$$

称为序列$f(k)$的双边z变换。

$$F(z)=\sum _{k=0}^{\infty }f(k)z^{-k}$$

称为序列$f(k)$的单边z变换

若$f(k)$为因果序列，则单边、双边z变换相等，否则不同。今后在不致混淆的情况下，统一称它们为z变换。

表示为：

$$F(z)=\mathcal{Z}[f(k)],f(k)={\mathcal{Z}}^{-1}[F(z)]$$$$f(k)\leftarrow \to F(z)$$

2 收敛域

当幂级数收敛时，z变换才存在，即满足绝对可和条件：
$$\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|f(k)z^{-k}\right|<\infty$$

它是序列$f(k)$的 z 变换存在的充分条件。

定义：收敛域

对于序列$f(k)$，满足${\sum }_{k=-\infty }^{\infty }\left|f(k)z^{-k}\right|<\infty$的所有z值组成的集合称为其z变换$F(z)$的收敛域。

有限长序列：

$\delta (k)z^{-k}=\delta (k)\cdot 1$

画出$\epsilon (k+1)-\epsilon (k-2)$的图。

因果序列的$z$变换收敛域在圆外：

等比数列求和公式：

$$\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$
例3中数列范围为($0\sim N$)

反因果序列的$z$变换收敛域在圆内：

双边序列的$z$变换收敛域为环形或不存在：

离散序列的收敛域情况分类：

注意：双边 z 变换必须标明收敛域！ 不同函数z变换相同，但收敛域可能不同，如：

$$f_1(k)=2^k\epsilon (k)\leftarrow {\to }_1(z)=\frac{z}{z-2},|z|>2$$
$$f_2(k)=-2^k\epsilon (-k-1)\leftarrow \to F_2(z)=\frac{z}{z-2},|z|<2$$

对单边$z$变换，其收敛域都是某个圆外的区域，所以收敛域可省略。

结论：
$$\text{ 双边 }{F}_b(z)+\text{ 收敛域 }⟶f(k)$$

$$\text{ 单边 }F(z)⟶f(k)$$

2 常用序列的z变换

$$\delta (k)\leftarrow \to 1,\text{ 整个z平面 }$$

$$f_1(k)=a^k\epsilon (k)\leftarrow \to F_1(z)=\frac{z}{z-a},|z|>|a|$$

$$f_2(k)=-a^k\epsilon (-k-1)\leftarrow \to F_2(z)=\frac{z}{z-a},|z|<|a|$$

$$\delta (k-m)\leftarrow \to z^{-m},|z|>0$$

$$\epsilon (k)\leftarrow \to \frac{z}{z-1},|z|>1$$

$$\epsilon (-k-1)\leftarrow \to \frac{z}{z-1},|z|<1$$

单边因果指数序列：$$a^k\epsilon (k)\leftarrow \to \frac{z}{z-a},|z|>|a|$$

左边指数序列：$$-a^k\epsilon (-k-1)\leftarrow \to \frac{z}{z-a},|z|<|a|$$

3 z变换性质

3.1 线性、移序、反折

说明：z变换性质，若无特殊说明，对单边和双边z变换均适用。

1、线性

$$f_1(k)\leftrightarrow F_1(z),{\alpha }_1<|z|<{\beta }_1$$

$$f_2(k)\leftrightarrow F_2(z),{\alpha }_2<|z|<{\beta }_2$$

$$a_1{f}_1(k)+a_2{f}_2(k)\leftrightarrow a_1{F}_1(z)+a_2{F}_2(z){\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2\text{ 为任意常数 }$$

$$\max \left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)<|z|<\min \left({\beta }_1,{\beta }_2\right)$$

注：其收敛域至少是$F_1(z)$与$F_2(z)$收敛域的相交部分。

2、移位（移序）特性

双边z变换的移位：

若$f(k)\leftarrow F(z),\alpha <|z|<\beta$，则对整数$m>0$：

$$f(k\pm m)\leftarrow \to z^{\pm m}F(z),\alpha <|z|<\beta$$

单边z变换的移位：

$$f(k-m)\leftarrow \to z^{-m}F(z)+\sum _{k=0}^{m-1}f(k-m)z^{-k}$$
右移，原来在负轴的部分移位到正轴，所以需要加${\sum }_{k=0}^{m-1}f(k-m)z^{-k}$

$$f(k+m)\leftarrow \to z^{m}F(z)-\sum _{k=0}^{m-1}f(k)z^{m-k}$$

左移，原来在正轴的部分移位到负轴，所以需要减${\sum }_{k=0}^{m-1}f(k)z^{m-k}$

特例：若$f(k)$为因果序列（负轴信号值为0），则

$$f(k-m)\leftarrow \to z^{-m}F(z)$$
即：
$$f(k-m)\epsilon (k-m)\leftarrow \to z^{-m}F(z)$$

3、$k$域反转(仅适用双边z变换）

设$$f(k)\leftrightarrow F(z),\alpha <|z|<\beta$$
则$$f(-k)\leftrightarrow F\left(z^{-1}\right),\frac{1}{\beta }<|z|<\frac{1}{\alpha }$$

3.2 z域尺度特性、微分

1、z域尺度变换：序列乘$a^k,a\ne 0$

设$f(k)\leftrightarrow F(z),\alpha <|z\mid <\beta$，且有常数$a$,则

$$a^{k}f(k)\leftrightarrow F\left(\frac{z}{a}\right),|a|\alpha <|z|<|a|\beta$$

2、序列乘$k$（z域微分）

设$f(k)\leftrightarrow F(z),\alpha <|z|<\beta$

则

$$kf(k)\leftrightarrow (-z)\frac{d}{dz}F(z)$$

$$k^{2}f(k)\leftrightarrow (-z)\frac{d}{dz}\left[(-z)\frac{d}{dz}F(z)\right]$$

$$k^{m}f(k)\leftrightarrow \underset{m\text{ 次 }}{(-z)\frac{d}{dz}\left(\cdots (-z)\frac{d}{dz}\left((-z)\frac{d}{dz}F(z)\right)\cdots \right)},\alpha <|z|<\beta$$

$e^{j\beta }$看作一个整体，$e^{-j\beta }$也看作一个整体。

因为是单边z变换：$(k+1)\epsilon (k+1)=(k+1)\epsilon (k)$

3.3 时域卷积

设：

$$f_1(k)\leftrightarrow F_1(z),{\alpha }_1<|z|<{\beta }_1$$

$$f_2(k)\leftrightarrow F_2(z),{\alpha }_2<|z|<{\beta }_2$$

则

$$f_1(k)\ast f_2(k)\leftrightarrow F_1(z)\cdot F_2(z),\max \left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)<z\mid <\min \left({\beta }_1,{\beta }_2\right)$$

说明：

(1) 收敛域一般为$F_1(z)$与$F_2(z)$收敛域的相交部分；

(2) 对单边z变换，要求：$f_1(k)$、$f_2(k)$为因果序列

画图，可知$k\epsilon (k-1)=k\epsilon (k)$

3.4 部分和

若$f(k)\leftarrow \to F(z),\alpha <|z|<\beta$
$$\sum _{i=-\infty }^{k}f(i)\leftarrow \to \frac{z}{z-1}F(z),\max (\alpha ,1)<|z|<\beta$$

证明：时域卷积对应频域乘积

$$f(k{)}^{\ast }\epsilon (k)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }f(i)\epsilon (k-i)=\sum _{i=-\infty }^{k}f(i)⟷\frac{z}{z-1}F(z)$$

3.5 初值定理和终值定理

初值定理适用于右边序列，即适用于$k<M$($M$为整数)时$f(k)=0$的序列。由象函数直接求序列的初值$f(M)$,$f(M+1)$, … 而不必求得原序列。

1、初值定理：

如果序列在$k<M$时，$f(k)=0,f(k)\leftarrow \to F(z),\alpha <|z|<\infty$

则序列的初值

$$f(M)=\underset{z\to \infty }{\lim }{z}^{M}F(z)$$

对因果序列$f(k)$， $M=0$

$$f(0)=\underset{z\to \infty }{\lim }F(z)$$

证明：

两边乘$z^M$，得

$$z^{M}F(z)=f(M)+f(M+1)z^{-1}+f(M+2)z^{-2}+\dots$$

上式取$z\to \infty$，得

$$f(M)=\underset{z\to \infty }{\lim }{z}^{M}F(z)$$

2、终值定理：

如果序列存在终值，即：
$$f(\infty )=\underset{k\to \infty }{\lim }f(k)$$

则序列的终值

$$f(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{z-1}{z}F(z)=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)F(z)$$

注意：收敛域要求含单位圆。

4 逆z变换：幂级数和部分分式展开

$F(z)$的逆z变换

$$f(k)=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{c}F(z)z^{k-1}dz,-\infty <k<\infty$$

z 逆变换的计算方法：

（1）反演积分法（留数法）；

（2）幂级数展开法；(有局限性)

（3）部分分式展开法；

（4）用 $z$ 变换性质求逆 $z$ 变换。(组合使用)

一般而言，双边序列 $f(k)$可分解为因果序列$f_1(k)$和反因果序列$f_2(k)$两部分，即

$$f(k)=f_2(k)+f_1(k)=f(k)\epsilon (-k-1)+f(k)\epsilon (k)$$

其中

$$F_1(z)=Z[f(k)\epsilon (k)]=\sum _{k=0}^{\infty }f(k)z^{-k},|z|>\alpha$$

$$F_2(z)=Z[f(k)\epsilon (-k-1)]=\sum _{k=-\infty }^{-1}f(k)z^{-k},|z|<\beta$$

已知象函数$F(z)$时，根据给定的收敛域不难由$F(z)$分解为$F_1(z)$和$F_2(z)$，分别求对应的原序列$f_1(k)$和$f_2(k)$，根据线性性质，将两者相加原序列 $f(k)$

1、幂级数展开法

根据$z$变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是$z^{-1}$和$z$的幂级数; 其系数就是相应的序列值。

2、部分分式展开法

$$F(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{b_m{z}^m+b_{m-1}{z}^{m-1}+\dots .+b_{1}z+b_0}{z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\dots .+a_{1}z+a_0},m\le n$$

(1) $F(z)$均为单极点，且不为0

$$\frac{F(z)}{z}=\frac{K_0}{z}+\frac{K_1}{z-z_1}+\dots .+\frac{K_n}{z-z_n}$$

$\frac{F(z)}{z}$除以$z$原因：
$$\frac{z}{z-a}\leftrightarrow a^k\epsilon (k)$$

而部分分式展开得到的分式上没有$z$

其中

$$K_i={\left(z-z_i\right)\frac{F(z)}{z}|}_{z=z_i}$$

所以：

$$F(z)=K_0+\sum _{i=1}^n\frac{K_{i}z}{z-z_i}$$

根据收敛域，将上式划分为$F_1(z)(|z|>\alpha )$和$F_2(z)(|z|<\beta )$，由如下已知变换对，来求原函数。

$$\delta (k)\leftarrow \to 1$$$$a^k\epsilon (k)\leftarrow \to \frac{z}{z-a},|z|>|a|$$

$$-a^k\epsilon (-k-1)\leftarrow \to \frac{z}{z-a},|z|<|a|$$

如果是单边的，则只考虑(1)

收敛域在你的外侧，就是因果信号，内测则是非因果信号。

（3）$F(z)$有重极点

$F(z)$展开式中含$\frac{z}{(z-a{)}^r}$项($r>1$)，则逆变换为：

若$|z|>a$ ，对应原序列为因果序列：
$$\frac{k(k-1)\dots ..(k-r+2)}{(r-1)!}{a}^{k-r+1}\epsilon (k)$$

以$|z|>a$为例：
推导记忆：
$$\mathcal{Z}[a^k\epsilon (k)]=\frac{z}{z-a}$$

两边对$a$求导得:
$$\mathcal{Z}[k{a}^{k-1}\epsilon (k)]=\frac{z}{(z-a{)}^2}$$

再对$a$求导得
$$\mathcal{Z}\left[k(k-1)a^{k-2}\epsilon (k)\right]=\frac{2z}{(z-a{)}^3}$$

$$\mathcal{Z}\left[\frac{1}{2}k(k-1)a^{k-2}\epsilon (k)\right]=\frac{z}{(z-a{)}^3}$$

3、用性质求逆z变换

5 z变换与拉普拉斯变换的关系

1、Z平面与S平面的映射关系
$$z=e^{sT}s=\frac{1}{T}\ln z$$

式中$T$是序列的时间间隔，重复频率 ${\omega }_s=\frac{2\pi }{T}$

为了说明s与z的映射关系，将s表示成直角坐标形式，而把 z 表示成极坐标形式，即

$$s=\sigma +j\omega z=r{e}^{j\theta }$$

$$z=r{e}^{j\theta }=e^{(\sigma +j\omega )T}=e^{\sigma T}{e}^{j\omega T}$$

于是，得到

$$r=e^{\sigma T}=e^{\frac{2\pi \sigma }{{\omega }_s}}\theta =\omega T=2\pi \frac{\omega }{{\omega }_S}$$

上式表明s平面与z平面有如下的映射关系：

(1) s平面上的虚轴($\sigma =0，\omega =\omega ，s=j\omega$)映射到z平面是单位圆$r=1$，其右半平面$\sigma >0$映射到 z平面的单位圆外$r>1$，而左半平面映射到 z平面的单位圆内$r<1$。

$$s=\sigma +j\omega z=r{e}^{j\theta }$$
(2) s平面的实轴($\sigma =\sigma ，\omega =0，s=\sigma$) 映射到z平面的正实轴；原点（$\sigma =0，\omega =0，s=0$）映射到z平面的正实轴上一点($r=1,\theta =0$) 。

(3) 由于$e^{j\theta }$ 是以 ${\omega }_s$为周期的周期函数，因此在s平面沿虚轴移动对应于z平面上沿单位圆周期旋转，每平移$\omega s$，则沿单位圆转一圈。所以 $s\sim z$映射并不是单值的

2、s变换与z变换的转换公式

$z$变换的定义式是通过理想取样信号的拉普拉斯变换引出的，由此，离散序列的$z$变换和理想取样信号的拉普拉斯变换之间具有如下关系：

$${F(z)|}_{z=e^{sT}}=F_s(s)$$

（$F_s(s)$下标$s$表示采样信号的拉普拉斯变换。）

表明: z变换式中令$z=e^{sT}$，则变换式就成为相应的理想取样信号的拉普拉斯变换。

如果进一步地，令拉普拉斯变换中的变量$s=j\omega$，则
$${F(z)|}_{z=e^{j\omega T}}=F_s(j\omega )$$
上式变为与序列相对应的理想取样信号的傅里叶变换。

讨论：若连续信号$f(t)$由$N$项指数信号相加而成(单极点)：
$$f(t)=f_1(t)+f_2(t)+\dots +f_N(t)=\sum _{i=1}^N{f}_i(t)=\sum _{i=1}^N{A}_i{e}^{p_{i}t}\epsilon (t)$$

容易求得，其拉普拉斯变换为：
$$F(s)=\sum _{i=1}^N\frac{A_i}{s-p_i}$$

对应的采样离散序列$f(k)$由$N$项指数序列相加而成

它的z变换为
$$F(z)=\sum _{i=1}^N\frac{A_{i}z}{z-e^{p_{i}T}}$$

$$F(s)=\sum _{i=1}^N\frac{A_i}{s-p_i}$$$$F(z)=\sum _{i=1}^N\frac{A_{i}z}{z-e^{p_{i}T}}$$

结论：如果$F(s)$有$N$个单极点 $p_i$，则相应的z变换即为$F(z)$。

中国大学MOOC：信号与系统 ，西安电子科技大学，郭宝龙，朱娟娟

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