高等数学二从零开始学习的总结笔记（已经完结）[通俗易懂]

推免失败，3个月从零开始学习数二，把做题的一些经验总结到博客
历时三个月，成功考完，不更了，自己偷懒，好多做题技巧后期也没来得及补上，295分学硕3个月临时学习也差不多满意了，毕竟学的不咋充分，已经上岸某B区211计算机（夏令营复试还是有好处的）

高等数学

一、函数、极限、连续

1.等价无穷小的使用

在x->0时，等价无穷小
尤其重要，在题目中经常会使用

但要尤其注意，只有乘法时才可以使用
例如，在x->0时sinx ~ x，sinx/x可以转换为x/x但是sinx-x并不可以转换

2.x^x型求极限

形如x^x的求极限的题目
1.利用e^(lnx)=x来转换
2.或者利用一个重要极限lim(1+x)^(1/x) = e,x->0和lim(1+1/x)^x = e,x ->∞

例如x^x,可以转换成e^xlnx，然后对t = xlnx求极限即可，最后求出e^t即为结果。

3.提取

有时候遇到一些积分，不太好算，但是其单个求极限为常数，可以提取出去lim(ax*bx) = lim(ax)*lim(bx)

例如lim tanx-sinx/(x^3) 可以提取出tanx/x，最后转换为(tanx/x) * (1-cosx)/x²

4.√a-√b型

这种只有一种方式一般 转换为a-b/(√a+√b)

5.间断点的判断

求x = x0处的左右极限
1.左右极限都存在，第一类间断点
lim左=lin右 =>可去间断点
lim左!=lim右 =>跳跃间断点
2.非一类间断点即为第二类间断点

判断间断点，一般判断分段点，和无定义点，例如1/x,x = 0即为无定义点

6.有界和极限存在

遇到有界就用y = 1和-1不断循环的，不收敛但有界来判断就行。
判断数列极限存在，一般利用归纳法,并且判断出 有下界+递减 或者 有上界+递增
然后一般假设lim an = A ,n->∞ ,然后根据an+1和an的公式同时求极限，就可以算出A

7.同阶无穷小判断未知数

例如，已知sinx ~ ax^b等价无穷小 ,当然题目不会给这么简单，大致方法就是把sinx/ax^b然后不断求，利用同阶无穷小和洛必达等，把上面(sinx)变为常数级别或者比较低阶，假如最后为1/ax^b-1就可以判断出b-1=0，所以b=1，然后再带回b=1,重新算一次，就可以得出a

8.x->∞

大多数情况上下同除最高阶,或者利用lim(1+1/x)^x x=>∞来求解

9.x^x精度问题

由于使用lim(1+1/x)^x ~ e, x->∞是近似等于e,所有有些题可能会导致答案不正确，但大部分题目都没有问题，如果精度不够就使用e^lnx的形式来做题
例如：lim(1+1/x)^x*x /e^x = e^-1/2，x->∞,如果使用lim(1+1/x)^x ~ e, x->∞,结果就为1

10.a+b/x^n

如果a/xⁿ和b/xⁿ的极限均存在，则可以将lim a+b/xⁿ转换为lim a/xⁿ+lim b/xⁿ
例如：lim sin6x +xf(x)/x³ x->0
可以转换如下：lim sin6x-6x/x³+lim xf(x)/x³ x->0

11.求n->∞数列的求极限

1.一般利用夹逼定理，把所有项变成第一项和最后一项，然后我们要求的函数就被“夹”，其实做多了，求其中一个（最大 or 最小）的极限就是答案
2.利用积分公式

一般转换为0,1区间

求一个积分即可得到答案

12.包含积分的求极限

其中a = 0,b = x，只需求导一次，即可转换为f(x)，一般这种题一定会让至少使用一次洛必达定理

13.三角函数包含三角函数,sin(sinx)

1.设sinx = t,则原式子可转换为sint,注意这种题的无穷小最好等价替换x->sinx,而且同一个三角函数会出现很多次。
2.利用等价无穷小,]例如tanx-x~x³/3
例题：lim tan(tanx)-x/x³ ,x->0
可以转换为: lim (tan(tanx) – tanx)/x³ + lim (tanx-x)/x³ x->0 可以直接利用等价无穷小求出答案

14.x->-∞的情况

1.可以转换为t = -x，t->+∞，单纯需要变号好算的时候使用，例如，√a+x => √a -√t²
2.注意1/x和e^x的使用，他们在趋近与-∞和+∞的结果不一样

15.f(b)-f(a)类型

利用拉格朗日定理 将f(b)-f(a) = f(&)(b-a)转换， 其中 a<=&<=b
所以，然后分别求&=a和&=b的情况下,f(&)(b-a)的值，利用夹逼定理一般可以得出结果

16.法线和切线方程

设函数y = f(x)，则在(x0,y0)点
切线方程y – y0 = f’(x0)(x-x0)
法线方程y – y0 = -(x-x0)/f’(0) =>就是斜率的倒数并且加上负号

17.含t变量求导数

假设
x = x(t), y = y(t)
则一阶导数dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = y’/x’(对t求导)
二阶导数:(dy/dx)‘/x’(对t求导)

18.极大值和极小值的判断

设方程y = f(x)
若y’ = 0,
则若y’’ > 0，极小值，若y’'<0，极大值

19.是否可导和连续的判断

因为有些不能直接求f’(x)来运算
首先y = f(x)在a点的导数可以用如下公式计算

然后分别求在a⁺和a^–的导数，若不相同且都存在，则可导

同时还有定义式，注意，两个f(x)只有一个能出现（▲x）

求连续，求在a⁺和a^–的极限是否相同

例如e^1/x在0点f(0-0) = 0，f(0+0) = +∞，所以不连续

积分

方程y = f(x)绕x轴旋转的体积，其中a,b是y =f(x)在x轴的交点

绕y轴旋转体体积公式

以上方式均用元素法求出的结果，基本上可以无脑套

微分方程

3.二阶微分方程

t1 : y’‘+p(x)y’+q(x)y = 0 二阶齐次线性微分方程
t2 : y’‘+p(x)y’+q(x)y= f(x) 二阶非齐次线性微分方程

if f(x) = f1(x) + f2(x)

t2’(1) : y’‘+p(x)y’+q(x) = f1(x) t2’(2) : y’‘+p(x)y’+q(x) = f2(x)

推论一：
o1(x),o2(x)为t1的解 => k1o1(x)+k2o2(x)也为t1的解
其中o1和o2线性无关(不成比例)，则t1的通解为y = C1o1(x)+C2o2(x)

推论二：
o1(x)为t1的解，o2(x)为t2的解，则o1(x)+o2(x)为t2的解
若o1和o2为t1的线性无关的解，o3为t2的特解，则C1o1(x)+C2o2(x)+o3(x)为t2的通解

推论三:
o1,o2为t2的解，则o1(x)-o2(x)为t1的解

推论四:
o1为t2’(1)的解，o2为t2’(2)的解
则o1(x)+o2(x)为t2的解(拆开相加)

4.二阶常系数微分方程

格式y’‘+py’+qy = 0
特征方程: r² + pr + q = 0
🔺 = p²-4q>0 y1 = C1 * e^r1x y2 = C2 * e^r2x
通解为y1+y2
🔺= 0,y = C1 * e^rx + C2 * x * e^rx
🔺 < 0 , r = n ± im , y1 = e^nx * cos(mx) + e^nx * sin(mx)
y = e^nx * (C1cos(mx)+C2sin(mx))

求二阶常系数非齐次微分方程时，求t2的特解(非齐次)，t1的通解(齐次)，然后求和即可
在求特解时,有以下几种情况：
f(x) = p(x)e^kx 其中k可以取0,退化为p(x)
假设r1 = k1,r2 = k2,假设时，y3 = xⁿ *p(x) * e^kx
其中n的取值为,r1,r2与k相同的个数，假设p(x)为线性方程，且相同个数为0，则假设为y3 = (ax+b)e^kx

特性：齐次线性方程组的解和为0，依旧为齐次的解,例如y1,y2为y的解，那么y1-y2依旧为y的解
       ：非齐次时，和为1，依旧为非齐次的解，例如y1,y2为y的解，那么y1/2+y2/2依旧为y的解

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