任意角和弧度制的概念_高等数学弧长公式三个

一.任意角

(在初中的角度概念中角度是0~360°
高中之后扩展到任意角)

按逆时针方向旋转形成的角叫做正角
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角
一条射线没有旋转叫做零角

把射线OA围绕端点按不同方向旋转相同的量所形成的的两个角互为相反数

终边落在哪个象限,就叫第几象限角,落在x,y轴上称为轴线角

思考:
1.第几象限角能否反应角的大小?
不能, 比如第一象限角可以旋转若干圈回到第一象限

2.与42°角终边相同的角的集合如何表示
{
$\alpha$ | $\alpha$=42° + 360°k, k$\in$ Z}
注意:Z表示整数,包含正负

3.如何表示轴线角的集合
{
$\alpha$ | $\alpha$=$\alpha$+90°k, k$\in$ Z}

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\quad
例题1:
已知集合A={第一象限角}, B={锐角}, C={小于90°的角}, 则下面关系正确的是__D___
A. A=B=C
B. $A\subseteq C$
C. $A\cap C$= B
D. $B\cup C$=C
关键: 第一象限角可以旋转若干圈回到第一象限

\quad
例题2: 已知角$\alpha$在如图阴影表示的范围内(不包含边界), 那么角$\alpha$的集合是______{
$\alpha$ | 45°+360°k<$\alpha$<150°+360°k , k$\in$ Z}

\quad
\quad
例题3: 将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得到的角度为_____, 将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度为______
{-25°+360°k, k$\in$ Z}
{35+360°k, k$\in$ Z}

\quad
例题4: 若$\alpha$是第一象限角, 则$\frac{\alpha }{2}$是第几象限___(一,三)___
解:
{
$\alpha$ | 360°k <$\alpha$< 90°+360°k , k$\in$ Z}
{
$\frac{\alpha }{2}$ | 180°k <$\frac{\alpha }{2}$< 45°+180°k , k$\in$ Z}

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\quad

二.弧度制

弧度制: 把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制, 它的单位是弧度, 单位符号是rad

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角
正角的弧度数为正数, 负角的弧度数为负数, 零角的弧度数为0

L为1弧度

\quad

2.1弧度与角度的互化

我们知道圆的周长为2πr, 1弧度为r, 也就是1弧度的2π倍为周长
360°=2π rad
180°=π rad
90°=$\frac{\pi }{2}$ rad

1弧度为$\frac{180°}{\pi }$≈57.3°
之后尽量用弧度制表示角度

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\quad

2.2弧长与扇形面积公式

弧长公式: L=$\alpha$R

推导过程:
我们知道圆的周长是2πR
360° => 2πR

1° \quad => $\frac{2\pi R}{360°}$

$\alpha$ \quad => $\frac{\alpha \ast 2\pi R}{360°}$
\quad \quad => $\alpha$R

\quad
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\quad
扇形面积公式: S=$\frac{1}{2}$$\alpha$R²=$\frac{1}{2}$LR(由弧长公式代入得到)

推导方式一:
我们知道圆形的面积公式为πR²
可以看做圆形是由扇形的若干倍组成
πR² * $\frac{\alpha }{2\pi }$ = S
整理得:
S=$\frac{1}{2}$$\alpha$R²

代入L=$\alpha$R得
S=$\frac{1}{2}$LR

\quad
\quad
推导方式二(微积分思想):
可以把扇形看作是由非常多个小三角形组成

三角形的面积公式是$\frac{1}{2}$.底.高
由于三角形足够小, 底几乎可以看作直线
也就可以把扇形当作三角形
S=$\frac{1}{2}$LR

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例题5: 用表示第一象限角的范围______
{2kπ, $\frac{\pi }{2}$+2kπ}(k$\in$ Z)

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例题6: 在半径为10的圆中, 240°的圆心角所对弧长为____
解: 弧长公式为L=$\alpha$R
L=$\frac{4\pi }{3}$ * 10

L=$\frac{40\pi }{3}$

\quad
\quad
例题7: 把下面的弧度化成角度或角度化成弧度
(1)-450° \quad –$\frac{5\pi }{2}$

(2)$\frac{\pi }{10}$ \quad 18°

(3) –$\frac{4\pi }{3}$ \quad -240°

(4)112°30’ \quad $\frac{5\pi }{8}$
(角度制中，1°=60′)

\quad
\quad

例题8: 用弧度制表示阴影部分的集合(不包括边界)

(1){-$\frac{\pi }{6}$+2kπ, $\frac{5\pi }{12}$+2kπ} (k$\in$ Z)

(2){-$\frac{3\pi }{4}$+2kπ, $\frac{3\pi }{4}$+2kπ} (k$\in$ Z)

(3){
$\frac{\pi }{6}$+kπ, $\frac{\pi }{2}$+kπ} (k$\in$ Z)

\quad
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\quad
例题9: 已知扇形AOB的圆心角为120°, 半径长为6, 求弓形ACB的面积

解:(思路是扇形减去三角形)
扇形面积: S=$\frac{1}{2}$$\alpha$R²
S=$\frac{1}{2}$* $\frac{2\pi }{3}$ * 6²
S=12π

$\Delta$S=9 $\sqrt[]{3}$

$\therefore$ 弓形ACB的面积为12π – 9 $\sqrt[]{3}$

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