二元函数的可导和可微_怎样判断二元函数可微

1.如何理解可导与可微？

笔记来源：【kaysen学长的文章】二元微分：连续、可微、可偏导、偏导连续的超强通俗解析！

1.1 二元函数可偏导

可偏导是一个曲面上某点处沿x轴和y轴方向的切线存在

1.2 二元函数可微

可微是一个曲面上某点处的切平面存在

若切平面不垂直于xoy面，可认为该点处可微（切面垂直于xoy面时，导数不存在，类似于一元的理解）

曲面某点处的微小切平面

这个微小切平面是由各个切线组合而成

如果这些切线中某条切线不存在，剩余切线也不能够合成微平面，所以可微一定可导（微平面存在，则此点处所有切线均存在），可导不一定可微（部分切线存在，则微平面不一定存在）

$\Delta z$的两种表示
$\Delta z=f(x,y)-f(x_0,y_0)$
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$

以下为个人对可微的理解（可能存在误解）
我们的目的：利用切平面上点的函数值$g(x,y)$来线性估计曲面上点的函数值$f(x,y)$
文章刚开始通俗理解了可微的大致意思是某点的切平面存在，即函数在某点可微，这点才存在切平面，我们才可以利用切平面来进行线性估计
我们取某个点$(x_0,y_0)$过该点做曲面的切平面，作微小变化后到点$(x,y)$，始点$(x_0,y_0)$与终点$(x,y)$之间的水平距离为$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，实际函数值与线性估计值的差为$\Delta z-dz$，我们为了方便描述实际函数值与线性估计值之间的接近情况引入了极限
$$\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\Delta z-dz}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\Delta z-dz}{\rho }=0$$
上述极限表示实际函数值与线性估计值之间的差趋于0的速度要比水平距离$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$ 趋于0的速度快的多，也就是说分子是分母的高阶无穷小，即$\Delta z-dz=o(\rho )$，这样才能保证线性估计值更加接近实际函数值，使得估计更加准确，而这也正是可微的定义

定义判定二元函数可微

分子：$\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)$
分母：$\rho$
即证明分子是分母的高阶无穷小

其中：

偏导数为偏增量（关于偏导数详见本人博客：Chapter33：偏导数）

$A\Delta x+B\Delta y$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全微分，记为
$$dz=Adx+Bdy$$

判定二元函数在某点是否可微的例子：

1.3 二元函数的偏导与连续

可偏导（某点处） $\nrightarrow$ 连续（邻区域）
只在直线连续，而非在邻域内连续

连续（原点邻域内） $\nrightarrow$ 可偏导（原点处）


原点处存在多条切线（切线不唯一），故不可导

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