一阶电路原理_三要素法求一阶电路步骤[通俗易懂]

一阶电路原理_三要素法求一阶电路步骤[通俗易懂]简要总结了《电路基础》第七章_v(t)=iinr[1et/rc]求解t详细步骤

引言

本章研究两种简单的电路类型——RC电路和RL电路。它们的特点是一阶微分方程

无源

无源RC电路

在这里插入图片描述
假设在 t = 0 t=0 t=0时刻电容电压为 V 0 V_0 V0,电容逐渐放电,根据KCL:
i C + i R = C d v d t + v R = 0 i_C+i_R=C\frac{dv}{dt}+\frac vR=0 iC+iR=Cdtdv+Rv=0整理得:
d v d t + v R C = 0 \frac{dv}{dt}+\frac v{RC}=0 dtdv+RCv=0解得: v ( t ) = V 0 e − t / R C (1) v(t)=V_0e^{-t/RC}\tag{1} v(t)=V0et/RC(1)

此时电路的响应出在电路本身在没有外部电源激发的条件下,称为自由响应

观察 ( 1 ) (1) (1)式,电阻上的电压取决于 V 0 V_0 V0 R C RC RC,我们将 R C RC RC即为 τ \tau τ,称作时间常数,它表示响应衰减到初始值的 1 e \frac1e e1所需要的时间。在五个 τ \tau τ后,电路响应会衰减到原来的 1 % 1\% 1%以下:
在这里插入图片描述


无源RL电路

在这里插入图片描述
假设在 t = 0 t=0 t=0时刻电感电流为 I 0 I_0 I0,电感逐渐放电,根据KVL:
L d i d t + i R = 0 L\frac{di}{dt}+iR=0 Ldtdi+iR=0,解得: i ( t ) = I 0 e − t / τ , τ = L / R i(t)=I_0e^{-t/\tau},\tau=L/R i(t)=I0et/τ,τ=L/R

电阻上的电流取决于 I 0 I_0 I0 L / R L/R L/R。其衰减状态同RC电路。


有源

RC电路的阶跃响应

在这里插入图片描述

激励可以是电压源或电流源

求电容两端的电压 v ( t ) v(t) v(t)
首先由于电容的特性:
v ( 0 + ) = v ( 0 − ) = V 0 v(0^+)=v(0^-)=V_0 v(0+)=v(0)=V0 V 0 V_0 V0是电容的初始电压值,根据KCL: C d v d t − V s u ( t ) − v R = 0 C\frac{dv}{dt}-\frac{V_su(t)-v}{R}=0 CdtdvRVsu(t)v=0解得: v ( t ) = [ V s + ( V 0 − V s ) e − t / τ ] u ( t ) , τ = R C (2) v(t)=[V_s+(V_0-V_s)e^{-t/\tau}]u(t),\tau=RC\tag{2} v(t)=[Vs+(V0Vs)et/τ]u(t),τ=RC(2)电流: i ( t ) = C d v d t = V s − V 0 R e − t / τ u ( t ) i(t)=C\frac{dv}{dt}=\frac{V_s-V_0}{R}e^{-t/\tau}u(t) i(t)=Cdtdv=RVsV0et/τu(t)
V 0 = 0 V_0=0 V0=0的情况下,电压和电流-t图像如下:
在这里插入图片描述


观察 ( 2 ) (2) (2)式,与 ( 1 ) (1) (1)相比, ( 2 ) (2) (2)式多了一项:
V s ( 1 − e − t / τ ) V_s(1-e^{-t/\tau}) Vs1et/τ这一项显然是随着时间增大而衰减的,我们称为“强迫响应”,因为它是在外来的激励下产生的。这意味着:

全响应=自由响应+强迫响应

我们也可以将全响应拆解为:

全响应=稳态响应+暂态响应

无论哪种,最终的全响应(开关切换时间 t = 0 t=0 t=0)都有形式为:
v ( t ) = v ( ∞ ) + [ v ( 0 ) − v ( ∞ ) ] e − t / τ v(t)=v(\infty)+[v(0)-v(\infty)]e^{-t/\tau} v(t)=v()+[v(0)v()]et/τ
当开关切换时间 t = t 0 t=t_0 t=t0
v ( t ) = v ( ∞ ) + [ v ( t 0 ) − v ( ∞ ) ] e − ( t − t 0 ) / τ v(t)=v(\infty)+[v(t_0)-v(\infty)]e^{-(t-t_0)/\tau} v(t)=v()+[v(t0)v()]e(tt0)/τ


PS:上述通用形式只是在激励为阶跃函数的情况下。


RL电路的阶跃响应

同RC电路,最终的全响应形式为:
i ( t ) = { i ( ∞ ) + [ i ( t 0 ) − i ( ∞ ) ] e − ( t − t 0 ) / τ } u ( t ) , τ = L / R i(t)=\{i(\infty)+[i(t_0)-i(\infty)]e^{-(t-t_0)/\tau}\}u(t),\tau=L/R i(t)={
i()+
[i(t0)i()]e(tt0)/τ}u(t),τ=L/R

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