时间序列证明平稳性例题_时间序列证明平稳性例题

第一章 平稳序列

1.1平稳序列基本概念

无论是从原序列中把趋势项去掉得到的随机波动项，还是用随机差分后得到残差序列，都会存在一种现象：随机项会沿着水平值波动，并且前后之间具有相关性，与独立序列不同。

一、定义

定义1.1 如果时间序列

满足

• 对任何
  —-等于没说，也就是随机变量性质稍微好点
• 对任何
  —-这个也不本质，取0也可以
• 对任何
  —

  关键！

那么我们称

是

平稳的时间序列，简称为
平稳序列。称实数

为

的

自协方差函数.

例1.1 平稳序列的线性变换依然是平稳序列

为平稳序列，期望

，自协方差函数

。线性变换得到

那么

可见

为平稳序列.

如果取

，那么它的均值为0，方差为1，称为

的标准化序列.

例1.2 调和平稳序列

设

为常数，随机变量

，则

是平稳序列.

证明：验证期望为常数，协方差只与时间间隔有关

说明：计算期望时用到三角函数在一个周期内的积分为0。计算协方差时，用到积化和差公式得到一个常数加一个三角函数，然后用三角函数在一个周期内积分为0。

二、自协方差函数性质

自协方差函数有以下三条性质：

• 对称性：
  
• 非负定性：

对任意

是非负定矩阵

• 有界性：
  

对称性证明：用到了协方差的对称性

非负定性证明：

任取一个向量

，有

对于第一个等号，可以看做是一个求和，其中求和的每一项就是分别从三部分中取一个然后相乘，即

有界性证明：运用Schwarz不等式

有

反过来，只要实数列满足这三个条件，就可以构造随机序列，使得该序列的协方差函数为该给定的实数列！

三、非负定性、随机变量的线性相关

首先根据非负定性的证明有

进而如果

是退化（即非满秩），那么当且仅当存在

使得

此时称

是线性相关的.

更进一步，如果

是线性相关的，那么对于

，

也是线性相关的.

四、自相关系数

定义1.2 设平稳序列

的标准化序列为

.

的自协方差函数为

我们把这样标准化后序列的自协方差函数成为

的自相关函数.很多时候求自相关函数比求自协方差函数要容易，因为

不容易求出来.

五、白噪声、白噪声模拟

定义1.3 设平稳序列

，如果它满足

则称

为白噪声序列，记作

• 如果序列是独立的，称为独立白噪声
• 如果序列均值为0，称为零均值白噪声
• 如果序列均值为0方差为1，称为标准白噪声
• 如果
  服从正态分布，称为

  正态白噪声.

六、正交和不相关性

如果

称

不相关，如果

称

正交.

对于两个平稳序列

，其不相关和正交分别定义为

• 不相关：
  
• 正交：
  

之所以这样定义正交，是从几何角度来看。事实上对于所有二阶矩存在的随机变量，构成一个Hilbert空间，且Hilbert空间上内积就用数学期望来定义.

两个平稳序列之和是否还是平稳序列？下面这个定理给出了说明：

定理1.1 对于平稳序列

，自协方差函数

，期望为

.且令

，那么当

正交或不相关的时候，

是平稳的.

证明：

二阶矩有界：

均值常数：

当正交的时候：

当不相关的时候：

1.2线性平稳序列和线性滤波

几种常用且重要的平稳序列

• 有限运动平均
• 线性平稳序列
• 时间序列的线性滤波

一、有限运动平均

设

是

，对于常数

，称

是白噪声

的

有限运动平均，简称为
MA(moving average)，运动平均又称滑动平均.

• MA的平稳性

验证一下数学期望和自协方差函数的条件:

数学期望：

自协方差函数：

其中第3个等号利用白噪声的不相关性，只有

即

时，求和项的中数学期望不为0，因此固定

后，

只能取为

，并且

不能超过

，所以

不超过

.

二、线性平稳序列

将有限运动平均改为无穷项会发生什么？定义零均值白噪声的无穷滑动平均为

当满足

时，

是平稳序列，满足的这个条件也称为

绝对可和.

当求和项数无限时，不能够轻易将期望与求和交换，那么如何证明平稳？

定理2.1 （单调收敛定理）如果非负随机变量序列单调不减

，那么如果该序列的极限几乎处处收敛：

，则

，也就是期望与极限可交换.

利用这个定理，我们令

，显然这是一个单调不减的正随机变量序列，并且在广义随机变量（即随机变量可以是无穷大）假设下有

因此利用单调收敛定理得到

但是无穷滑动平均的定义中没有绝对值，怎么办？

定理2.2 （控制收敛定理）如果随机变量序列

满足

和

，也就是说该序列被一个期望存在的随机变量控制，那么如果该序列的极限存在：

，则

.

首先考察期望。由上面的讨论，我们得到在绝对值情形下的数学期望为

，而由Schwarz不等式以及绝对可和的条件，这个数学期望是有界的，而切比雪夫不等式告诉我们，一个期望有界的随机变量，是几乎处处有界的，因此

是有意义的，进而去掉绝对值符号后，

也是有意义的.

我们取

，取

，根据控制收敛定理期望与极限可交换，交换之后期望就为0了.

然后还要考察

的自相关函数，很自然会想到期望与求和交换，进而得到

与有限运动平均类似的结果：

至于为什么能交换，也就是单调收敛定理与控制收敛定理的应用，具体来说就是先考察各项都取绝对值后的期望是否存在，在这里就是

其期望可计算如下：

其中第一个等号运用单调收敛定理，即对于正项级数的期望和求和可交换，不等号运用了Schwarz不等式，最后一个小于号利用了绝对可和性。

最后说明一下二阶矩有界。这里也是Schwarz不等式的运用，如下：

注1：绝对可和条件下，如上定义的自协方差函数是绝对收敛的。

证明：

这说明了自协方差函数当

很大的时候，会很快趋于0，也就是说

时间间隔比较长的两个观测值之间相关性是比较小的。

单边线性序列：只对非负部分求和，即

，类似可以计算得到