全导数和方向导数_高数方向导数计算公式「建议收藏」

全导数、偏导数、方向导数、梯度都是多元函数(二元及以上)中的概念。本文将从底层介绍全导数、方向导数、偏导数、梯度它们之间的联系和几何意义。

0前言

0.1导数的定义

导数（derivative）是微积分学中的一个概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数的自变量在一点 $x_{0}$ 上产生一个增量ℎ时，函数输出值的增量与自变量增量ℎ的比值在ℎ趋于0时的极限如果存在，即为在 $x_{0}$ 处的导数，记作 ${f}'(x_{0})$ 、 $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}(x_{0})$ 或 $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}|_{x=x_{0}}$ 。

0.2导数几何意义

当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。如下图所示，设 $P_{0}$ 为为曲线上的一个定点，P为曲线上的一个动点。当P沿曲线逐渐趋向于 $P_{0}$ 点时并且割线 $PP_{0}$ 的极限位置 $P_{0}T$ 存在,则称 $P_{0}T$ 为曲线在 $P_{0}$ 处的切线。

若曲线为一函数 y=f(x) 的图像，那么割线 $PP_{0}$ （粉红色）的斜率为：

当 $P_{0}$ 处的切线 $P_{0}T$ （橘红色），即 $PP_{0}$ 的极限位置存在时，此时 $\Delta x\rightarrow 0$ ， $\varphi \rightarrow \alpha$ ，则 $P_{0}T$ 的斜率 $tan\alpha$ 为：

上式与导数定义完全相同，也就是说 $f{}'(x_{0})=tan\alpha$ ，因此，导数的几何意义即曲线在点 $P_{0}(x_{0},f(x_{0}))$ 处的切线斜率。

记住1：曲线(函数)在某点的导数=曲线在该点处的斜率

1全导数

step1：下面我用二元函数 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ 来举例子，选取曲面上的任意一点A ：

step2：在曲面上可以做无数条过A 点的曲线（图上随便画了三根）：

step3：过A点的每根曲线都可以过A点做各自的切线。比如(随便挑了一根来画)：

也就是说曲面上任意一点A可对应着无数条曲线，这无数条曲线可过A做无数条切线，即有无数个 “导数值”，我们称之为多元函数上过A点的“全导数”。

1.1参数方程（过A点任一曲线的参数方程）

我们都知道，该曲面的解析式为 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ ，那么过A点的所有曲线该怎么表示呢？要描述所有这些曲线，我们就需要一些数学手段，这就是参数方程。

我们来看一下，随便画一条过A 点的曲线

这条曲线也是一个关于x,y的函数f(x,y)，因此它与xy平面上的曲线具有一一对应的关系(如下图)，(我们把函数f(x,y)上的曲线称为曲线C，在xy平面上对应(投影)的曲线称为曲线c)：

因此我们只需要描述xy面上的曲线c并联立曲面方程 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ 就可以达到描述曲线C的目的，亦即可得到曲面上过A点任一曲线的参数方程了。（在此不做赘述，详细请看什么是全导数？）

结论：总之，我们暂时知道结论，任意一条曲线，都是通过xy平面上对自变量x，y的限定，来对二元函数 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ 产生约束得到。(记住2)即任意一条曲线C都可用参数方程来表示。

1.2 全导数和方向导数、偏导数的关系

上面说了，过二元函数中A点的所有曲线C都对应着xy平面中的一条曲线c（广义的，包括曲线和直线），那么在这所有曲线C中也有比较特殊的：曲线c为直线(射线)的曲线C过A点的全导数又被称之为方向导数，而这之中对应直线c平行于坐标轴的曲线C对A点的全导数又被叫做偏导数。

结论:偏导数∈方向导数∈全导数

1.3 总结

对于多元函数，过函数曲面（以二元f(x,y)为例）上任意一点A可以作出无数条曲线。全导数：每条曲线都有自己过A点的导数，也就是过A点做该曲线的切线。
方向导数对应的对象只是无数条曲线中在xy平面上投影为直线(射线)的那部分曲线。方向导数：这部分曲线中的任意一条过A点的导数是方向导数(至于为什么叫方向导数，在下一节中解释)。

我想让大家注意的是：

多元函数的全导数\方向导数\偏导数的求解最终会归结于一条条曲线的求导上，而导数定义和几何意义在前言部分也介绍了（这大家都懂）。每一条曲线都可以用参数方程表示出来，因此完全可以根据定义来求解导数。又因为我们一般研究的对象是方向导数、偏导数它们的参数方程相对来说是简单的（这我在下一节讲），因此我们更不用过于担心它们的求解很难。

2方向导数、偏导数和梯度的关系

2.1 方向导数和梯度定义

2.1.1方向导数的定义

顾名思义，方向导数就是某个方向上的导数。

什么是方向：

函数 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ 在这个方向上的图像：

函数f(x,y)的A点在这个方向上也是有切线的，其切线的斜率就是方向导数：

很明显，A点不止一个方向，而是360°都有方向(无数个)：

综上，（1）首先明确方向的定义，xy平面上的一个矢量来表示方向，360°都有方向（注意：方向定义不依赖本案例，优先级是高于本案例的，也就是任何一个多元函数求方向导数都得根据这个方向的定义）。（2）知道了方向的定义，结合第一章对二元函数 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ 全导数概念的介绍，可知以A点在xy平面上投影点为中心，360°方向的射线对应的所有曲线C为方向导数的研究对象。

方向导数和梯度的几何意义

方向导数本质上是反映函数f(x,y)在一点处的变化率，方向导数最大的方向(变化率最大)所对应的方向为梯度方向，该处的方向导数值为梯度值。但注意，方向导数是标量，梯度是矢量。下面这篇文章一定要仔细的看，读懂读透，对梯度的讲解非常详细。梯度意义:水沿玻璃最“陡”的方向下滑。

2.1.2梯度的定义（梯度和方向导数的关系）

根据方向导数的定义，以A点在xy平面投影点为中心的每个方向对应的曲线C都是有方向导数的。

梯度：是一个矢量，其方向上的方向导数最大，其大小正好是此最大方向导数。

方向导数最大值的方向取名为梯度方向
梯度的值是方向导数的最大值

至于下面问题的答案，请看：如何直观形象地理解方向导数与梯度以及它们之间的关系？

为什么所有方向导数中会存在并且只存在一个最大值？而不是有多个最大值、或者说没有最大值？

这个最大值在哪个方向取得？值是多少？

2.2 方向导数和梯度的数学计算

偏导数、方向导数、梯度之间的关系和数学计算可阅读：

数学基础0-全导数、方向导数、偏导数、梯度

2.2.1方向导数的数学计算

案例：

方向导数曲线对应参数方程：

(cosα，cosβ)是方向w上的单位向量

（1）首先沿w={3，-4}方向的单位向量为 $(\frac{3}{5},-\frac{4}{5})$

则曲线的参数方程为：

（2）有了参数方程，利用导数的定义求解即可

2.2.2梯度的计算

设二元函数在平面区域D上具有一阶连续偏导数，则对于每一个点P(x,y)都可定出一个向量 $\left \{\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right \}=f_{x}(x,y)\vec{i}+f_{y}(x,y)\vec{j}$ ，该函数就称为函数在P(x,y)的梯度，记作

或 $\bigtriangledown f(x,y)$ ,即有：

总结：

方向导数：是一个数（标量）；本质上还是反映的是函数f(x,y)在一点沿某方向v的变化率。

偏导数：是多个数（每元有一个）；是指多元函数沿坐标轴方向的方向导数，因此二元函数就有两个偏导数。

梯度：是一个向量：它既有大小（其大小为最大方向导数–每个元素为函数对一元变量的偏导数），也有方向( 梯度的方向是方向导数中取到最大值的方向)

偏导数连续才有梯度存在

参考文献：

导数. 维基百科
什么是全导数？马同学，知乎
方向导数与梯度_Arrow的博客-CSDN博客_方向导数与梯度公式
如何形象地理解方向导数与梯度以及它们之间地关系？知乎

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