能控性在系统设计中有什么作用_现代控制理论基础谢克明课后答案

Author：AXYZdong 自动化专业 工科男
有一点思考，有一点想法，有一点理性！
定个小小目标，努力成为习惯！在最美的年华遇见更好的自己！
CSDN@AXYZdong，CSDN首发，AXYZdong原创
唯一博客更新的地址为： 👉 AXYZdong的博客 👈
B站主页为：AXYZdong的个人主页

3.1 能控性及其判据

指外输入 $u(t)$ 对系统状态变量 $x(t)$ 和输出变量 $y(t)$ 的支配能力，它回答了 $u(t)$ 能否使 $x(t)$ 和 $y(t)$ 做任意转移的问题。

• 有些状态分量能受输入 $u(t)$ 的控制，有些则可能不受 $u(t)$ 的控制。受 $u(t)$ 控制的状态称为能控状态，不受 $u(t)$ 控制的状态称为不能控状态。

3.1.1 例子

例1：系统的结构图如下

显然，$u$ 只能控制 $x_1$ ，而不能影响 $x_2$ ，我们称状态变量 $x_1$ 是可控的，而 $x_2$ 是不可控的。

• 只要系统中有一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。

例2：取 $i_L$ 和 $u_c$ 作为状态变量，$u$ 为输入，$y=u_c$ 为输出。

1. 当 $R_1{R}_4\ne R_2{R}_3$，状态可控；
2. 当 $R_1{R}_4=R_2{R}_3$ ，$u$ 只能控制 $i_L$，状态不可控。

3.1.2 能控性定义

对于线性定常系统：$$\begin{gathered} \acute{x}=Ax+Bu \\ 其中,x、u分别为n、r维向量 \\ A为n\times n常值矩阵，B为n\times r常值矩阵\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$
如果存在一个分段连续系统的输入 $u(t)$，能在 $[t_0,t_f]$ 的有限时间内使得系统的某一初始状态 $x(t_0)$ 转移到任一终端状态 $x(t_f)$，则称此状态是能控的。

如果系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的。

根据初始状态和终端状态的不同位置，可以分为：

• 系统的状态能控性：（常用）
  初始状态为状态空间任意非零有限点；
  终端状态为状态空间原点，即零态。
• 系的状态能达性：
  初始状态为为状态空间原点，即零态；
  终端状态为状态空间任意非零有限点。

3.1.3 能控性判据

• 格拉姆矩阵法
  对于式（1）的系统状态能控的充分必要条件是矩阵 $W_c[0,t_1]$ 的秩为 $n$ ，其中
  $$W_c[0,t_1]={\int }_0^{t_1}{e}^{-A\tau }B{B}^T{e}^{-A^T\tau }d\tau$$
• 若式（1）系统能控，则 $n\times nr$ 能控性矩阵
  $$Q_c=\left(\begin{array}{ccccc}B& AB& A^{2}B& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right)$$
  满秩。即：
  $$rank{Q}_c=n$$
• PHB判别法
  式（1）的系统能控的充分必要条件是 $n\times (n+r)矩阵[\lambda I-A|B]$ 对 $A$ 的所有特征值 ${\lambda }_i$之秩都是 $n$。即：
  $$rank[{\lambda }_{i}I-A|B]=n，（i=1,2,...,n）$$
• 式（1）系统的矩阵 $A$ 特征值 ${\lambda }_i（i=1,2,...,n）$ 互异，将系统经过非奇异线性变换成对角阵
  $$\acute{\overline{x}}=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & 0& \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & 0& & {\lambda }_n\end{array}\right)\overline{x}+\overline{B}u$$
  则系统能控的充分必要条件是矩阵 $\overline{B}$ 不包含元素全为零的行。
• 式（1）系统的矩阵 $A$ 具有重特征值 ${\lambda }_1（l_1重），{\lambda }_2（l_2重）,...,{\lambda }_k（l_k重）$ ，且 ${\sum }_{i=1}^k{l}_i=n，{\lambda }_i\ne {\lambda }_j（i\ne j）$ 经过非奇异线性变换得到约当阵
  $$\acute{\overline{x}}=\left(\begin{array}{cccc}{J}_1& & 0& \\ & J_2& & \\ & & \ddots & \\ & 0& & J_n\end{array}\right)\overline{x}+\overline{B}u，J_i=\left(\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& 1& & 0& \\ & {\lambda }_2& 1& & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & 0& & & 1\\ & & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$
  则系统能控的充分必要条件为矩阵 $\overline{B}$ 中与每一个约当子块最下面一行对应的行的元不全为零。

3.2 能观测性及其判据

3.2.1 能观测性定义

对于线性定常系统：
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}\acute{x}=Ax+Bu\\ y=Cx\end{array}（2） \\ 其中,x、u、y分别为n、r、m维向量 \\ A为n\times n常值矩阵，B为n\times r常值矩阵，C为m\times n常值矩阵 \end{gathered}$$
如果在有限时间区间 $[t_0,t_1]（t_0可为0，t_1>t_0）$ 内，通过观测 $y(t)$，能够唯一确定系统的初始状态 $x(t_0)$， 则称系统状态在 $t_0$ 是能观测的。

如果对于任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称系统状态能观测或系统是能观测的。

3.2.2 能观测性判据

• 格拉姆矩阵法
  对于式（2）的系统状态能观测的充分必要条件是矩阵 $W_0[0,t_1]$ 满秩 ，其中
  $$W_0[0,t_1]={\int }_0^{t_1}{e}^{A^{T}t}{C}^{T}C{e}^{At}dt$$
• 若式（2）系统能观测，则 $mn\times n$ 能观测性矩阵
  $$Q_0=\left(\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right)$$
  满秩。即：
  $$rank{Q}_0=n$$
• PHB判别法
  式（2）的系统能观测的充分必要条件是 $(n+m)\times n矩阵$
  $$\left(\begin{array}{c}C\\ \cdots \\ {\lambda }_{i}I-A\end{array}\right)$$对 $A$ 的所有特征值 ${\lambda }_i$之秩都是 $n$。
• 若式（2）系统的矩阵 $A$ 特征值 ${\lambda }_i（i=1,2,...,n）$ 互异，将系统经过非奇异线性变换成对角阵
  $$\begin{gathered} \acute{\overline{x}}=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & 0& \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & 0& & {\lambda }_n\end{array}\right)\overline{x}+\overline{B}u \\ y=\overline{C}\overline{x} \end{gathered}$$
  则系统能观测的充分必要条件是矩阵 $\overline{C}$ 不包含元素全为零的列。
• 式（1）系统的矩阵 $A$ 具有重特征值 ${\lambda }_1（l_1重），{\lambda }_2（l_2重）,...,{\lambda }_k（l_k重）$ ，且 ${\sum }_{i=1}^k{l}_i=n，{\lambda }_i\ne {\lambda }_j（i\ne j）$ 经过非奇异线性变换得到约当阵
  $$\begin{gathered} \acute{\overline{x}}=\left(\begin{array}{cccc}{J}_1& & 0& \\ & J_2& & \\ & & \ddots & \\ & 0& & J_n\end{array}\right)\overline{x}+\overline{B}u，J_i=\left(\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& 1& & 0& \\ & {\lambda }_2& 1& & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & 0& & & 1\\ & & & & {\lambda }_n\end{array}\right) \\ y=\overline{C}\overline{x} \end{gathered}$$
  则系统能观测的充分必要条件为矩阵 $\overline{C}$ 中与每一个约当子块第一列对应的列，其元不全为零。

3.3 对偶原理

有两个系统，一个系统 ${\sum }_1$ 为：
$$\{\begin{array}{l}\acute{x_1}=A_1{x}_1+B_1{u}_1\\ y_1=C_1{x}_1\end{array}$$
另一个系统 ${\sum }_2$ 为：
$$\{\begin{array}{l}\acute{x_2}=A_2{x}_2+B_2{u}_2\\ y_2=C_2{x}_2\end{array}$$
若满足：
$$A_2=A_1^T，B_2=C_1^T，C_2=B_1^T$$
则称系统 ${\sum }_1$ 与系统 ${\sum }_2$ 是互为对偶的。

式中， $x_1,x_2$ 为 $n$ 维状态矢量；$u_1,u_2$ 为 $r$ 与 $m$ 维控制矢量；$y_1,y_2$ 为 $m$ 与 $r$ 维输出矢量；$A_1,A_2$ 为 $n\times n$ 系统矩阵； $B_1,B_2$ 各为 $n\times r$ 与 $n\times m$ 维控制矩阵；$C_1,C_2$ 各为 $m\times n$ 与 $r\times n$ 维输出矩阵。

两个基本性质：

• 对偶的两个系统传递函数矩阵互为转置
• 对偶的两个系统特征值相同

对偶原理：
系统 ${\sum }_1（A_1,B_1,C_1）$ 和 ${\sum }_2（A_2,B_2,C_2）$ 是互为对偶的两个系统，则 ${\sum }_1$ 的能控性等价于 ${\sum }_2$ 能观性，${\sum }_1$ 的能观性等价于 ${\sum }_2$ 能控性。或者说 ，若 ${\sum }_1$ 是状态完全能控的（完全能观的），则 ${\sum }_2$ 是状态完全能观的（完全能控的）

3.4 能控标准型和能观测标准型

在实际应用中，常常根据所研究问题的需要， 将状态空间表达式化为相应的几种标准形式：

• 如约旦标准型对于状态转移矩阵的计算，可控性和可观性的分析是十分方便的；
• 对于系统的状态反馈则化为能控标准型是比较方便的；
• 对于系统状态观测器的设计以及系统辨识，则将系统状态空间表达式化为能观标准型是方便的。

把状态空间表达式化成能控标准型（能观标准型）的理论根据是状态的非奇异变换不改变其能控性（能观性），只有系统是状态完全能控的（能观的）才能化成能控（能观）标准型。

3.4.1 能控标准型

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}\acute{x}=Ax+bu\\ y=Cx+du\end{array}（3） \\ 其中,x为n维向量，u和y为标量 \\ A，B，C，d为满足矩阵运算相应维数的矩阵。 \end{gathered}$$
设 $A$ 的特征多项式为：
$$det[\lambda I-A]={\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+...+a_1\lambda +a_0$$
系统（3）能控性矩阵：
$$Q_c=\left(\begin{array}{ccccc}b& Ab& A^{2}b& \cdots & A^{n-1}b\end{array}\right)$$
若系统能控，则：$rank{Q}_c=n$。

系统（3）能控，则通过线性变换将其变成如下形式的能控标准型。
$$\begin{gathered} \acute{\overline{x}}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right)\overline{x}+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right)u \\ y=\left(\begin{array}{cccc}{\beta }_0& {\beta }_1& \cdots & {\beta }_{n-1}\end{array}\right)x+du \end{gathered}$$
式中：
$$\{\begin{array}{l}{\beta }_0=C[A^{n-1}b+a_{n-1}{A}^{n-2}b+\cdots +a_{1}b]\\ ⋮\\ {\beta }_{n-2}=C(Ab+a_{n-1}b)\\ {\beta }_{n-1}=Cb\end{array}$$

引入非奇异矩阵 $P$ 作变换：
$$\begin{gathered} \overline{x}=Px，或者：x=P^{-1}\overline{x} \\ \overline{A}=PA{P}^{-1}，\overline{b}=Pb，\overline{C}=C{P}^{-1}，\overline{d}=d \\ 式中：P={\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_n\end{array}\right)}^{-1} \end{gathered}$$
由于系统能控，所以 $rank\left(\begin{array}{ccccc}b& Ab& A^{2}b& \cdots & A^{n-1}b\end{array}\right)=n$。列向量 $b,Ab,\cdots ,A^{n-1}b$ 为 $n$ 个线性无关的列向量。由此可取：
$$\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}b& Ab& \cdots & A^{n-1}b\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_{n-1}& 1\\ a_2& a_3& \cdots & 1& 0\\ ⋮& ⋮& \cdot & ⋮& ⋮\\ a_{n-1}& 1& \cdots & 0& 0\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right)$$
这样非奇异矩阵 $P$ 就可以求出。

3.4.2 能观测标准型

系统（3）能观测性矩阵：
$$Q_0=\left(\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right)$$
若系统能观测，则：$rank{Q}_0=n$。

系统（3）能观测，则通过线性变换将其变成如下形式的能观测标准型。
$$\begin{gathered} \acute{\overline{x}}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -a_0\\ 1& 0& \cdots & 0& -a_1\\ 0& 1& \cdots & 0& -a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -a_{n-1}\end{array}\right)\overline{x}+\left(\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\\ ⋮\\ {\beta }_{n-1}\end{array}\right)u \\ y=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)x+du \end{gathered}$$
式中：
$$\{\begin{array}{l}{\beta }_0=C[A^{n-1}b+a_{n-1}{A}^{n-2}b+\cdots +a_{1}b]\\ ⋮\\ {\beta }_{n-2}=C(Ab+a_{n-1}b)\\ {\beta }_{n-1}=Cb\end{array}$$

变换矩阵可取：
$$P=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_{n-1}& 1\\ a_2& a_3& \cdots & 1& 0\\ ⋮& ⋮& \cdot & ⋮& ⋮\\ a_{n-1}& 1& \cdots & 0& 0\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right)$$
这样非奇异矩阵 $P$ 就可以求出。

参考文献

[1]：刘豹，唐万生. 现代控制理论[M]. 北京：机械工业出版社，2006.7
[2]：王孝武. 现代控制理论基础[M]. 3版 北京：机械工业出版社，2013.7

  本次的分享就到这里

如果我的博客对你有帮助、如果你喜欢我的博客内容，请 “点赞” “收藏” “关注” 一键三连哦！
更多精彩内容请前往 AXYZdong的博客

如果以上内容有任何错误或者不准确的地方，欢迎在下面 👇 留个言。或者你有更好的想法，欢迎一起交流学习~~~

今天的文章能控性在系统设计中有什么作用_现代控制理论基础谢克明课后答案分享到此就结束了，感谢您的阅读。