数据结构题集c语言版严蔚敏_数据结构c语言版严蔚敏pdf第四版

一、串

1、串的定义

计算机上的非数值处理的对象大部分是字符串数据，字符串一般简称为串

串是一种特殊的线性表，其特殊性体现在数据元素是一个字符，也就是说，串是一种内容
受限的线性表

串(string)(或字符串）是由零个或多个字符组成的有限序列

串中字符的数目 n 称为串的长度。零个字符的串称为空串(null string) , 其长度为零

只有当两个串的长度相等，并且各个对应位置的字符都相等时才相等

由一个或多个空格组成的串 ” ” 称为空格串 (blank string, 请注意：此处不是空串），
其长度为串中空格字符的个数

2、串的存储结构及其运算

2.1、串的存储结构

1）串的顺序存储

用一组地址连续的存储单元存储串值的字符序列。

按照预定义的大小，为每个定义的串变量分配一个固定长度的存储区，则可用定长数
组如下描述：

#define MAXLEN 255 // 串的最大长度
typedef struct{
    char ch[MAXLEN + 1]; // 存储串的一位数组
    int length; // 串的当前长度
} SString;

在C语言中，存在一个称之为“堆”(Heap) 的自由存储区，可以为每个新产生的串动态分配一块实际串长所需的存储空间，若分配成功，则返回一个指向起始地址的指针，作为串的基址，同时为了以后处理方便，约定串长也作为存储结构的一部分。这种字符串的存储方式也称为串的堆式顺序存储结构。

串的堆式顺序存储结构

typedef struct{
    char *ch; // 若是非空串，则按串长分配存储区，否则 ch 为NULL
    int length; // 串的当前长度
} HString;

2）串的链式存储

用链表存储串值时，存在一个“结点大小”的问题，即每个结点可以存放一个字符，也可以存放多个字符

(a)所示为结点大小为 4 (即每个结点存放 4 个字符）的链表，图 4.3 (b)所示为结点大小为 1 的链表

当结点大小大于 1 时，由于串长不一定是结点大小的整倍数，则链表中的最后一个结点不一定全被串值占满，此时通常补上”#”或其他的非串值字符（通常”#”不属于串的字符集，是一个特殊的符号）

为了便于进行串的操作，当以链表存储串值时，除头指针外，还可附设一个尾指针指示链
表中的最后一个结点，并给出当前串的长度。称如此定义的串存储结构为块链结构。

串的链式存储结构

#define CHUNKSIZE 80 // 可由用户定义的块大小

typedef struct CHUNK{
    char ch[CHUNKSIZE];
    struct Chunk *next;
} Chunk;

typedef struct{
    Chunk *head,*tail; // 串的头尾指针
    int length; // 串的当前长度
} LString;

在链式存储方式中，结点大小的选择直接影响着串处理的效率。

一般来说，字符集小，则字符的机内编码就短，这也影响串值存储方式的选取。

串值的链式存储结构对某些串操作，如联接操作等，有一定方便之处，但总地说来，不如顺序存储结构灵活，它占用存储量大且操作复杂。

2.2、串的模式匹配算法

子串的定位运算通常称为串的模式匹配或串匹配。

串的模式匹配设有两个字符串S和T, 设S为主串，也称正文串；设T为子串，也称为模式。

1）BF 算法

最简单直观的模式匹配算法是 BF (Brute-Force) 算法

最好情况下的平均时间复杂度是 O(n + m)

最坏情况下的平均时间复杂度是 O(n * m)

步骤：

分别利用计数指针 i 和 j 指示主串 S 和模式 T 中当前正待比较的字符位置，i 初值为 pos，j 初值为 1
如果两个串均未比较到串尾，即 i 和 j 均分别小于等于 S 和 T 的长度时，则循环执行以下操作：
1. S[i].ch 和 T[j].ch 比较，若相等，则 i 和 j 分别指示串中下个位置，继续比较后续字符
2. 若不等，指针后退重新开始匹配，从上一次匹配主串的起始位置的下一个字符（i = i – j + 2）起再重新和模式的第一个字符（j = 1）比较
如果 j > T.length ，说明模式 T 中的每个字符依次和主串 S 中的一个连续的字符序列相等，则匹配成功，返回和模式 T 中第一个字符相等的字符在主串 S 中的序号（i – T.length）；否则称匹配不成功，返回 0

int Index_BF(SString S,SString T,int pos){
    // 返回模式 T 在主串 S 中的第 pos 个字符开始第一次出现的位置，若不存在，则返回值为 0
    // 其中，T 非空，1 ≤ pos ≤ S.length
    i = pos;
    j = 1; // 初始化
    while(i <= S.length && j <= T.length){ // 两个串均未比较到串尾
        if(S[i].ch == T[j].ch){ // 继续比较后继字符
            ++i;
            ++j;
        }else{ // 指针后退重新开始匹配
            i = i - j + 2; // 上一次匹配主串的起始位置的下一个字符
            j = 1;
        }
    }
    if(j > T.length)
        return i - T.length; // 匹配成功
    else
        return 0; // 匹配失败
}

BF 算法的匹配过程

2）KMP 算法

这种改进算法是由 Knuth 、 Morris 和 Pratt 同时设计实现的，因此简称 KMP 算法。

此算法可以在 O(n + m) 的时间数量级上完成串的模式匹配操作。

改进内容：
每当一趟匹配过程中出现字符比较不等时，不需回溯 i 指针，而是利用已经得到的“部分匹配”的结果将模式向右“滑动”尽可能远的一段距离后，继续进行比较。

当匹配过程中产生 “失配” 时，指针 i 不变，指针 j 退回到 next[j] 所指示的位置上重新进行比较，并且当指针 j 退至零时，指针 i 和指针 j 需同时增 1。即若主串的第 i 个字符和模式的第 1 个字符不等，应从主串的第 i + 1个字符起重新进行匹配。

int Index_KMP(SString S,SString T,int pos){
    // 利用模式串 T 的 next 函数求 T 在主串 S 中第 pos 个字符之后的位置
    // 其中，T 非空，1 ≤ pos ≤ S.length
    i = pos;
    j = 1; // 初始化
    while(i <= S.length && j <= T.length){ // 两个串均未比较到串尾
        if(j == 0 || S[i] == T[j]){ // 继续比较后继字符
            ++i;
            ++j;
        }else{ // 模式串向后移动
            j = next[j];
        }
    }
    if(j > T[0])
        return i - T[0]; // 匹配成功
    else
        return 0; // 匹配失败
}

计算 next 函数值

// 时间复杂度为O(m)。
// 通常，模式串的长度m比主串的长度n要小得多，对整个匹配算法来说，所增加的
这点时间是值得的。
void get_next(SString T,int next[]){
    // 求模式串 T 的 next 函数值并存入数组 next
    i = 1;
    next[1] = 0;
    j = 0;
    while(i < T[0]){
        if(j == 0 || T[i] == T[j]){
            ++i;
            ++j;
            next[i] = j;
        }else{
            j = next[j];
        }
    }
}

计算 next 函数修正值

void get_nextVal(SSTring T,int nextVal[]){
    // 求模式串 T 的 next 函数修正值并存入数组 nextVal
    i = 1;
    nextVal[1] = 0;
    j = 0;
    while(i < T[0]){
        if(j == 0 || T[i] == T[j]){
            ++i;
            ++j;
            if(T[i] != T[j]){
                nextVal[i] = j;
            }else{
                nextVal[i] = nextVal[j];
            }
        }else{
            j = nextVal[j];
        }
    }
}

二、数组

1、数组的定义

数组是由类型相同的数据元素构成的有序集合。

数组中每个元素处于 n(n ≥ 1) 个关系中，故称该数组为 n 维数组。

特点是结构中的元素本身可以是具有某种结构的数据，但属于同一数据类型。

2、特殊矩阵的压缩存储

所谓压缩存储，是指为多个值相同的元只分配一个存储空间，对零元不分配空间。

假若值相同的元素或者零元素在矩阵中的分布有一定规律，则称此类矩阵为特殊矩阵。

1）对称矩阵

若 n 阶矩阵A中的元满足下述性质 $a_{ij}$ = $a_{ji}$ 1 ≤ i,j ≤ n 则称为 n 阶对称矩阵。
对于对称矩阵，可以为每一对对称元分配一个存储空间，则可将 $n^{2}$ 个元压缩存储到 $\frac{n(n +1)}{2}$ 个元的空间中。

2）三角矩阵

上三角矩阵是指矩阵下三角（不包括对角线）中的元均为常数 c 或零的 n 阶矩阵，下三角矩阵与之相反。

3）对角矩阵

对角矩阵所有的非零元都集中在以主对角线为中心的带状区域中，即除了主对角线上和直接在对角线上、下方若干条对角线上的元之外，所有其他的元皆为零。

4）稀疏矩阵

非零元较零元少，且分布没有一定规律，称之为稀疏矩阵。

三、广义表

3.1、广义表的定义

广义表是线性表的推广，也称为列表。

在线性表的定义中， $a_{i}$ (1 ≤ i ≤ n)只限于是单个元素。

而在广义表的定义中，ai可以是单个元素，也可以是广义表，分别称为广义表 LS 的原子和子表。

习惯上，用大写字母表示广义表的名称，用小写字母表示原子。

广义表的定义是一个递归的定义。

例子：

(1) A = () —— A 是一个空表，其长度为零

(2) B=(e) —— B 只有一个原子 e, 其长度为 1

(3) C= (a, (b, c, d)) —— C的长度为2, 两个元素分别为原子 a 和子表(b,c, d)。

(4) D = (A, B, C) —— D 的长度为3,3个元素都是广义表。显然，将子表的值代入后，则有 D = ((), (e), (a, (b, c, d)))。

(5) E = (a, E) —— 这是一个递归的表，其长度为2。E 相当于一个无限的广义表 E=(a, (a,(a, ···)))。

结论：

广义表的元素可以是子表，而子表的元素还可以是子表。

广义表可为其他广义表所共享。

广义表可以是一个递归的表，即广义表也可以是其本身的一个子表。

广义表最重要的两个运算：

取表头 GetHead(LS)：取出的表头为非空广义表的第一个元素，它可以是一个单原子，也可以是一个子表。

取表尾 GetTail(LS)：取出的表尾为除去表头之外，由其余元素构成的表。即表尾一定是一个广义表。

3.2、广义表的存储结构

由于广义表中的数据元素可以有不同的结构（或是原子，或是列表），因此难以用顺序存储结构表示，通常采用链式存储结构。

常用的链式存储结构有两种，头尾链表的存储结构和扩展线性链表的存储结构。

1）头尾链表的存储结构

一对确定的表头和表尾可唯一确定广义表。

一个表结点可由3个域组成：标志域、指示表头的指针域和指示表尾的指针域。

原子结点只需两个域：标志域和值域。

广义表的头尾链式存储结构

typedef enum{
    ATOM, // ATOM == 0：原子
    LIST // LIST == 1：子表
} ElemTag;

typedef struct GLN ode{
    ElemTag tag; // 公共部分，用于区分原子结点和表结点
    union{
        AtomType atom; // atom是原子结点的值域，AtomType有用户定义
        struct{
            struct GLN ode *hp,*tp;
        }ptr; // ptr是表结点的指针域，ptr.hp和ptr.tp分别指向表头和表尾
    };
}*GList; // 广义表类型