数学化归思想的方法_初中数学分类思想经典例题

关

注

初中数学“化归”思想

“化归”就是将面临的新问题转化为已经熟悉的规范问题的数学方法，后者具有确定的解法或者有确定的求解程序。这是一种具有普遍适用性的数学思想方法。

从这个例子我们可以概括出化归包括三个要素：①化归对象(我们不熟悉的新问题，例如分式不等式)；②化归目标(规范问题，例如一元一次不等式组)；③化归途径(沟通新问题与规范问题的策略设计，例如利用分式的符号与分子分母符号的关系实现转化)

化归的基本原则

(1)熟悉化原则。如果化归后的问题仍然没有办法解决，那么化归无效。例如“已知函数y=(a-b)x+c当x=-5，x=3时的值分别为3，-1，求这个函数的解析式。”如果应用待定系数法把这个问题化归为“解一个关于a,b,c的三元一次方程组”，那么由于这个方程组有三个未知数，只有两个方程，仍无法解，化归结果就不是一个熟悉问题，化归无效。但是，如果化归为“解一个以a-b与c为未知数的二元一次方程组”，由于后者有现成解法，就符合熟悉化原则。

(2)简单化原则。即把复杂问题简单化。仍如上例，“当x=-5,x=3….”本身就是一个我们熟悉的规范问题，a,b,c可以直接忽略，化归就更加简单，可见化归的策略是有优劣之分的。

(3)和谐化原则。即把数学问题的表现形式转化为符合我们认识的统一形式，显得和谐。例如“已知x1,x2是方程x²-5x-4=0的两根，求x1²x2+4×1的值”，求值的表达式很不对称，必须利用韦达定理把它转化为x1+x2和x1x2进行降幂。

找到化归对象与化归目标的联系，常用方法不一而足，分割图形、典型化、数形互化、消元、换元、数学模型等方法都很常用，但都不应以静止的观点看问题，而应善于用变化的观点。比如平面几何的证明题，我们常常会教学生“条件性质化，结论条件化”，从而找到沟通方法。

化归的主要作用

(1)运用化归思想指导新知识的学习。例如学习梯形中位线的性质，我们把梯形中位线化归为三角形的中位线来研究。

(2)利用化归思想指导解题。比如在有理数范围内分解因式：2a²-1/2利用化归的思想构造应用乘法公式：2a²-1/2=1/2(4a²-1)。问题就立刻解决了。

(3)利用化归思想梳理知识结构。把逐章所学的知识进行整理、消化、提炼，把零星知识组织成有序的知识网络。例如无理式通过“分母有理化”为求和创造条件，方程组通过消元减少未知数，分式方程通过“去分母”归结为整式方程，或通过“换元”分布求解，等等。但是要注意了，化归前后的两个问题不一定是等价的问题，新问题的解未必都是原问题的解，需要做出判断，比如分式方程化归为整式方程，根可能增加，要舍去增根。