线代矩阵特征值怎么算_矩阵特征值的计算方法

5.1 矩阵的特征值与特征向量

5.1.1 矩阵的特征值与特征向量

定义：设A是n阶方阵，若对于数，存在非零列向量，使得

则称为矩阵A的一个特征值，为矩阵A的对应于特征值的特征向量

 定义：称为A的特征多项式，称为A的特征方程

5.1.2 特征值与特征向量的基本性质

性质：

1）n阶矩阵A与其转置矩阵有相同的特征值

2）设n阶矩阵的n个特征值为，则有

                        (1) (迹)

                     （2）

3）n阶矩阵A可逆的充要条件是A的所有特征值都不等于零

4）n阶矩阵A的互不相同的特征值对应的特征向量线性无关

5）k重特征值对应的线性无关的特征向量个数

 其他性质：

设是n阶矩阵A的特征值，则

1）是kA的特征值（k为常数）

2）是的特征值（k是正整数）

3）若是n阶矩阵的特征值，，则是的特征值

4）若矩阵A可逆，则是的特征值，是其伴随矩阵的特征值

5.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件

5.2.1 相似矩阵的概念

定义：设A与B是n阶矩阵，若存在n阶矩阵P，使得

则称矩阵A与B相似，记为A～B

性质：

1）反身性：A～A

2）对称性：若A～B，则B～A

3）传递性：若A～B，B～C，则A～C

5.2.2 相似矩阵的性质

性质：

1）若A～B，则A与B有相同的特征值，从而

2）若A～B，则A可逆的充要条件是B可逆，而且当A，B都可逆时，有相似

3）若A～B，则~(m为正整数)

5.2.3 矩阵与对角形矩阵相似的条件

定理：n阶矩阵A相似于对角线矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量

5.3 实对称矩阵的对角化

所有的实对称矩阵都能对角化

5.3.1 向量的内积与正交向量组

内积：

内积的性质：

1）非负性：而且当且仅当

2）对称性：

3）齐次性：

4）线性性：

 向量的长度（范数/模）

                ​​​​​​​        ,

单位向量：长度为1的向量

单位化或标准化：

长度的性质：

1）非负性：

2）齐次性：

3）柯西——施瓦茨不等式：

4）三角不等式：

正交（垂直）：,

正交向量组：不含有零向量，向量两两正交

标准正交向量组：正交向量组中每一个向量都是单位向量

定理：是正交向量组，则必线性无关

5.3.2 施密特正交化

给一组无关的，求与之等价的正交的:

“““`

第一步：施密特正交化

第二步：施密特单位化

5.3.3 正交矩阵

定义：设A为n阶矩阵，且，则称A为正交矩阵

性质：

        1）若A为正交矩阵，则或1

        2）若A为正交矩阵，则，且和为正交矩阵

        3）若A，B均为n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵

        4）若A是n阶正交矩阵，是n维列向量，则

定理：n阶矩阵A为正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量组是标准正交向量组

5.3.4 实对称矩阵的对角化

定理：n阶实对称矩阵A的n个特征值都是实数，且其特征向量是实向量

定理：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量必正交

定义：设A，B为同阶矩阵，若存在同阶正交矩阵P，使得，则称矩阵A与B正交相似

定理：设A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得

今天的文章线代矩阵特征值怎么算_矩阵特征值的计算方法分享到此就结束了，感谢您的阅读。