线代矩阵特征值怎么算_矩阵特征值的计算方法

线代矩阵特征值怎么算_矩阵特征值的计算方法此篇为《线性代数》,第四版,经济科学出版社出版,为B站宋浩老师《线性代数》教学视频所用教材,自己也是跟着宋老师学,边学边做笔记,在此特别感谢像宋老师一样无私奉献的人

5.1 矩阵的特征值与特征向量

5.1.1 矩阵的特征值与特征向量

定义:设A是n阶方阵,若对于数\lambda _0,存在非零列向量\alpha,使得

                                A\alpha =\lambda _0\alpha

则称\lambda _0为矩阵A的一个特征值,\alpha为矩阵A的对应于特征值\lambda _0的特征向量

 定义:\left | \lambda E -A \right |称为A的特征多项式,\left | \lambda E -A \right |=0称为A的特征方程

5.1.2 特征值与特征向量的基本性质

性质:

1)n阶矩阵A与其转置矩阵A^T有相同的特征值

2)设n阶矩阵A=(a_{ij})的n个特征值为\lambda _1,\lambda _2,\cdot \cdot \cdot ,\lambda _n,则有

                        (1) \sum_{i=1}^{n}\lambda _i=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}(迹)

                     (2)\lambda _1,\lambda _2,\cdot \cdot \cdot ,\lambda _n=\left | A \right |

3)n阶矩阵A可逆的充要条件是A的所有特征值都不等于零

4)n阶矩阵A的互不相同的特征值\lambda _1,\lambda _2,\cdot \cdot \cdot ,\lambda _m对应的特征向量\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _m线性无关

5)k重特征值对应的线性无关的特征向量个数\leqslant k

 其他性质:

\lambda是n阶矩阵A的特征值,则

1)k\lambda是kA的特征值(k为常数)

2)\lambda ^kA^k的特征值(k是正整数)

3)若\lambda是n阶矩阵的特征值,f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdot \cdot \cdot +a_1x+a_0,则f(\lambda )f(A)=a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\cdot \cdot \cdot +a_1A+a_0E的特征值

4)若矩阵A可逆,则\frac{1}{\lambda }A^{-1}的特征值,\frac{1}{\lambda }\left | A \right |是其伴随矩阵A^*的特征值

 

5.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件

5.2.1 相似矩阵的概念

定义:设A与B是n阶矩阵,若存在n阶矩阵P,使得

                        P^{-1}AP=B,

则称矩阵A与B相似,记为A~B

性质:

1)反身性:A~A

2)对称性:若A~B,则B~A

3)传递性:若A~B,B~C,则A~C

5.2.2 相似矩阵的性质

性质:

1)若A~B,则A与B有相同的特征值,从而\left | A \right |=\left | B \right |,tr(A)=tr(B)

2)若A~B,则A可逆的充要条件是B可逆,而且当A,B都可逆时,有A^{-1}. B^{-1}相似

3)若A~B,则A^m~B^m(m为正整数)

5.2.3 矩阵与对角形矩阵相似的条件

定理:n阶矩阵A相似于对角线矩阵\wedge的充要条件是A有n个线性无关的特征向量

5.3 实对称矩阵的对角化

所有的实对称矩阵都能对角化

5.3.1 向量的内积与正交向量组

内积:(\alpha ,\beta )=a_1b_1+a_2b_2+\cdot \cdot \cdot +a_nb_n=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i=\alpha ^T\beta =\alpha \beta ^T

内积的性质:

1)非负性:(\alpha ,\alpha )\geqslant 0,而且\left ( \alpha ,\alpha \right )=0当且仅当\alpha =0

2)对称性:\left ( \alpha ,\beta \right )=\left ( \beta ,\alpha \right )

3)齐次性:(k\alpha ,\beta )=k(\alpha ,\beta )

4)线性性:\left ( \alpha +\beta ,\gamma \right )=\left ( \alpha +\gamma \right )+\left ( \beta +\gamma \right )

 向量的长度(范数/模)

                ​​​​​​​        \left \|\alpha \right \|=\sqrt{\left ( \alpha ,\alpha \right )},\left ( \alpha ,\alpha \right )=\left \| \alpha \right \|^{2}

单位向量:长度为1的向量

单位化或标准化:\frac{1}{\left \| \alpha \right \|}\alpha

长度的性质:

1)非负性:\left \|\alpha \right \|\geqslant 0

2)齐次性:\left \|k\alpha \right \|=\left | k \right |\cdot \left \| \alpha \right \|

3)柯西——施瓦茨不等式:\left | \left ( \alpha ,\beta \right ) \right |\leqslant \left \| \alpha \right \|\cdot \left \| \beta \right \|

4)三角不等式:\left \|\alpha +\beta \right \|\leqslant \left \| \alpha \right \|+\left \| \beta \right \|

正交(垂直):\left ( \alpha ,\beta \right )=0,\partial \perp \beta

正交向量组:不含有零向量,向量两两正交

标准正交向量组:正交向量组中每一个向量都是单位向量

定理:\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s是正交向量组,则\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s必线性无关

5.3.2 施密特正交化

给一组无关的\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s,求与之等价的正交的\beta _1,\beta _2,\cdot \cdot \cdot ,\beta _s:

\beta _1=\alpha _1

\beta _2=\alpha _2-\frac{\left ( \alpha _2,\beta _1 \right )}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1

\beta _3=\alpha _3-\frac{(\alpha _3,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1-\frac{(\alpha _3,\beta _2)}{(\beta _2,\beta _2)}\beta _2

“““`

第一步:施密特正交化

第二步:施密特单位化

5.3.3 正交矩阵

定义:设A为n阶矩阵,且A^TA=E,则称A为正交矩阵

性质:

        1)若A为正交矩阵,则\left |A \right |=-1或1

        2)若A为正交矩阵,则A^{-1}=A^T,且A^{-1}A^T为正交矩阵

        3)若A,B均为n阶正交矩阵,则AB也是正交矩阵

        4)若A是n阶正交矩阵,\alpha ,\beta是n维列向量,则(A\alpha ,A\beta )=\left ( \alpha ,\beta \right )

定理:n阶矩阵A为正交矩阵的充要条件是A的列(行)向量组是标准正交向量组

5.3.4 实对称矩阵的对角化

定理:n阶实对称矩阵A的n个特征值都是实数,且其特征向量是实向量

定理:实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量必正交

定义:设A,B为同阶矩阵,若存在同阶正交矩阵P,使得p^{-1}AP=B,则称矩阵A与B正交相似

定理:设A为n阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q,使得Q^{-1}AQ=\wedge

 

 

今天的文章线代矩阵特征值怎么算_矩阵特征值的计算方法分享到此就结束了,感谢您的阅读。

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