微分方程的求解方法

微分方程的求解方法文章目录前言Ⅰ.首先介绍一些关于微分方程的概念Ⅱ.在考研范围内的微分方程有哪几类Ⅲ.微分方程的求解方法1.一阶微分方程的求解①可分离变量型的解法②齐次型的解法③一阶线性型的解法(重难点)2.二阶可降阶微分方程的求解3.高阶常系数线性微分方程的求解前言本文主要介绍了考研范围的微分方程的求解类型及对应的求解方法,主要内容参考自张宇《闭关修炼》,希望本文对您有所帮助。Ⅰ.首先介绍一些关于微分方程的概念一阶是什么:一阶微分方程就是指只有一阶导数或微分的微分方程。(注:阶数是微分方程中含有的导数或微分的

前言

本文主要介绍了考研范围的微分方程的求解类型及对应的求解方法,主要内容参考自张宇《闭关修炼》,希望本文对您有所帮助。
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Ⅰ.首先介绍一些关于微分方程的概念

一阶是什么:

  • 一阶微分方程就是指只有一阶导数或微分的微分方程。(注:阶数是微分方程中含有的导数或微分的最高阶数,如y”+xy=ysinx就是二阶微分方程了。)

线性是什么:

  • 形如y’+p(x)y+q(x)=0指的是微分方程简化后的每一项关于y、y’的指数为1。 (注:这里仅仅是对于y本身来说,对x没限制,其中对于p(x)和q(x)并不做限制。形式如(y’)²+p(x)y+q(x)=0, y’+p(x)y²+q(x)=0等形式的就不再是线性方程。)

齐次是什么:

  • 常数项(即不含有未知数的项)为零,就称为齐次线性方程。

齐次微分方程是什么(不好理解):

  • 形如y’=f(y/x)换元后能为可分离变量方程的一类微分方程,其中 f 是已知的连续方程。 (简单地理解就是,以y/x为自变量外面套了一层f()函数的微分方程,那么大概率它就是齐次微分方程!)

一阶线性微分方程是什么:

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二阶常系数线性微分方程是什么:

  • 形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数。

Ⅱ.在考研范围内的微分方程有哪几类

在考研范围内的微分方程求解分为以下几类:

1.一阶微分方程的的求解

2.二阶可降阶微分方程的求解

3.高阶常系数线性微分方程的求解

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Ⅲ.微分方程的求解方法

1.一阶微分方程的求解

①可分离变量型的解法

(1)能写成y’=f(x) * g(y)=>分离变量

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解析:在这里插入图片描述

(2)能写成y’=f(ax+by+c)=>令u=a+by+c=>u’=a+bf(u)=>分离变量.

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解析:

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注:这里需要注意的有两点,1:du/dx=1+dy/dx;2:∫1/(1+sinu)du的等价变形

②齐次型的解法

能写成y’=f(y/x)或f(x/y) => 令y/x=u或x/y=u => 换元后分离变量。

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解析:

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③一阶线性型的解法(重难点)

A:形如:y’+p(x)y=q(x), 这里有个问题是什么如何判定是一阶线性型?

第一步:整理归纳方程的组成部分。

很简单,就是你把所有的项都归类放好到一起,例如表达式中的成分有xy’,xy’’,2-2x3-sinx,x2y等等,分类归纳好之后,观察等式方程的组成部分。以一阶线性型为例,方程必须有y’,p(x)y, 以及q(x)。

第二步:整理归纳完成后,将方程调整为y’+p(x)y=q(x)。

第三步:采用公式法,得到通式。

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解析:

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注:这里无需讨论x^2^=1的情况,因为x=1,-1两点的y取值并不影响或者说成为y(0)=1的特解

B:此外一阶线性型还有一种形式,形如:能写成y’+p(x)y=q(x)yn(n≠0,1)(术语:伯努利微分方程) =>令z=y1-n =>公式法(仅数学一)

伯努利方程的转换为一阶线性型的过程如下:

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然后采用公式法求解该微分方程的通解即可。

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解析:

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注:这里为什么要对siny进行换元处理,观察方程的左边因为(siny)'=cosy * y',而方程右边已经有siny,所以这里对siny换元后进行微分方程的化简

2.二阶可降阶微分方程的求解

A:形如y’’=f(x,y’),缺y => 令y’=p换元,y’’=p’ =>降阶求解。

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解析:

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注:对于p’(x+p2)=p的变形,考虑到不符合一阶线性以及齐次微分方程,分离变量也看不出来,所以采用整体的代换。将原式变形为pdx-xdp=p2dp,进一步化简成d(x/p)=dp。

B:形如y’’=f(y,y’),缺x =>令y’=p换元,y’’=p·dp/dy =>降阶求解。

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解析:

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3.高阶常系数线性微分方程的求解

A:形如y”+py’+qy=f(x),解法的步骤如下:

(1)写λ2+pλ+q=0=>λ1+λ2=>写齐次方程的通解:

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(2)设特解y*=>代回方程,求待定系数=>特解:

1o:如果y”+py’+qy=eαx Pm (x),设y*=eαx Q m (x) x k, k存在以下三种情况:

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2o:如果y”+py’+qy=eαx [Pm (x) cosβx + P n (x)sinβx],设y*=eαx [Q(1) L (x)cosβx+Q(2) L (x)sinβx ]x k,L=max{m,n},k存在以下2种情况:
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解析:

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B:形如y’’+py’+qy=f1(x)+f2(x),解法的步骤如下:

(1)写λ2+pλ+q=0=>λ1+λ2=>写齐次方程的通解:

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(2)…=f1,写特解y1;…=f2,写特解y2

(3)故y1*+y2*为特解

C:形如x2y’’+pxy’+qy=f(x),解法的步骤如下:

x>0,令x=et;x<0,令x=-et=>换元后求解

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解析:

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最后,你学会(废)了嘛?
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今天的文章微分方程的求解方法分享到此就结束了,感谢您的阅读。

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