这段时间老师在课提到递归算法的一些应用,我对其中的Ackerman函数比较感兴趣,并尝试探索了一番。
Ackerman函数A(n,m)定义如下(可能跟网上的一些定义有出入):
根据定义,我们知道这是一个非常典型的递归问题,直接上代码解决问题:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long A(long long n, long long m){
if(m==0){
if(n>=2){
return n + 2;
}
if(n==1){
return 2;
}
if(n==0){
return 1;
}
}else{
if(n<1){
return 1;
}
return A(A(n-1, m), m-1);
}
}
long long A_new(long long n, long long m){
}
int main()
{
for(int i = 0; i <= 4; i++){
for(int j = 0; j<= 4; j++){
try{
long long ret = A(j,i);
printf("A(%d,%d)=%lld\n", j, i, ret);
}catch(exception e){
printf("A(%d,%d)=error!!!!\n", j, i);
}
}
printf("\n");
}
return 0;
}
运行结果如下。非常不幸,我们的代码在A(4,3)的时候就崩溃了。这时候我们反过来推导Ackerman函数在不同的m下的式子。
M=0:
=>A(n,0)=n+2
M=1:
=>A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2,和A(1,1)=2故A(n,1)=2*n
M=2:
=>A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2),和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2,故A(n,2)= 2^n
M=3
=>A(n,3)=2^(2^(2^(2^(…))))
M=4
这个我也不知道怎么用语言表达,但是如果认真推过前面几个数,M=4大概长什么样子我们还是知道的。
按照上述推导,A(4, 3)=A(A(3, 3), 2)=216=65536。这还远远未到long long的上界。根据程序底部的 Process exited after 1.208 seconds with return value 3221225725,我们知道 这是缓冲区爆了的结果。换成人话就是我们不应该用递归,至少不应该用现在这种递归方式解决问题。
由于水平有限,只能用最土的办法来减少递归次数,就是存储下每次的递归结果。代码如下
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define total_n 100000
#define total_m 5
long long ret[total_n+1][total_m+1]={
0};
long long A(long long n, long long m){
if(m==0){
if(n>=2){
return n + 2;
}else{
return ret[n][m];
}
}else{
if(n<1){
return ret[n][m];
}
if (ret[n][m]==0){
if(ret[n-1][m]!=0)
ret[n][m]=A(ret[n-1][m], m-1);
}
return ret[n][m];
}
}
void initial(){
for(int i = 0; i<=total_n; i++){
ret[i][0]=i+2;
ret[i][1]=i*2;
ret[i][2]=pow(2,i);
}
for(int i = 0; i<=total_m; i++){
ret[0][i]=1;
}
ret[1][0]=2;
}
int main()
{
initial();
for(int i = 0; i <= 4; i++){
for(int j = 0; j<=5; j++){
ret[j][i]=A(j,i);
printf("A(%d,%d)=%lld\n", j, i, ret[j][i]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
这种代码是建立在我们已经推导出来部分关系式的基础之上的,实际上已经不能算严格意义上的递归了。不过勉勉强强还是算出来了一部分的函数值。我们可以看到在A(5,3)的时候,函数值已经大于long long上界。A(4,4)和A(5,4)因为代码的不完善显示为1,根据简单的推导估算和我们对M=4时对Ackerman函数的理解,我们也有理由相信就算代码正确,这里的值也依然会超出long long上界。
今天的文章c++阿克曼函数_递归函数c++简单实例分享到此就结束了,感谢您的阅读。
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