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【题目链接】

ybt 1194：移动路线
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【题目考点】

1. 坐标型动态规划

【解题思路】

解法1：递推

设状态数组dp，dp[i][j]表示从(1,1)到(i,j)的路径条数。
考虑蚂蚁到(i,j)位置前可能是哪里，把可能的到(i,j)的前一个位置的路径数量加和，即为到(i,j)的路径数量。

• 如果(i,j)是(1,1)，起始位置到起始位置的路径数量为1，所以：dp[1][1]=1;
• 如果是在第1行，即i为1，那么只能沿着第一行走到(i,j)，只有一种走法。所以如果i为1：dp[i][j] = 1;
• 如果是在第1列，即j为1，那么只能沿着第一列走到(i,j)，只有一种走法。所以如果j为1：dp[i][j] = 1;
• 除了上述情况，到(i,j)的前一个位置只能是它下面的位置(i-1,j)和左边的位置(i,j-1)，所以：dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
  遍历二维数组dp，按照上述递推关系做递推。最后输出dp[n][m]。

解法2：递推 借助下标为0的位置

与解法1思路相同。将数组各元素初始化为0，首先设初始值a[1][1] = 1;，循环时只使用递推关系，会让下标为0的位置参与运算。
已知递推关系：dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1]，

• 如果i为1，那么dp[1][j] = dp[0][j] + dp[1][j-1] = dp[1][j-1]。
• 如果j为1，那么dp[i][1] = dp[i-1][1] + dp[i][0] = dp[i-1][1]。

解法3：记忆化递归

思路与上述解法相似。

【题解代码】

解法1：递推

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{ 
   
    int m, n, dp[25][25];
    cin >> m >> n;
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
		for(int j = 1; j <= n; ++j)
		{ 
   
		    if(i == 1 || j == 1)//第一行或第一列，路线数都是1 
                dp[i][j] = 1;
			else
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j];
		}
	cout << dp[m][n];
    return 0;
}

解法2：递推 借助下标为0的位置

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{ 
   
    int m, n, dp[25][25] = { 
   };
    cin >> m >> n;
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
		for(int j = 1; j <= n; ++j)
		{ 
   
			if(i == 1 && j == 1)
				dp[i][j] = 1;
			else
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j];
        }
	cout << dp[m][n];
    return 0;
}

解法3：记忆化递归

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[25][25];
int solve(int i, int j)//到i，j的路径数 
{ 
   
    if(dp[i][j] > 0)
        return dp[i][j];
    if(i == 1 || j == 1)
        return 1;
    else
        return dp[i][j] = solve(i-1, j) + solve(i, j-1); 
}
int main()
{ 
   
    int m, n;
    cin >> m >> n;
	cout << solve(m, n);
    return 0;
}

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