通信原理随机码_通信原理平稳随机过程通过线性系统「建议收藏」

一、随机过程

任意随机过程可以看成零均值随机过程与确定函数的和

1. 数学特征

均值	$E[\overline{X(t)}] = \overline{{E}[X(t)]}$ $E[X(t)]=\int_{-\infty }^\infty {xp(x,t)dx} = m_{x}(t)$	摆动程度
方差	$D[X(t)] = E[X(t)-E[X(t)]]^{^{2}}$ $=E[X(t)]^{^{2}}-m{_{x}}(t)^{2}=\sigma {_{x}}(t)^{2}$	偏离程度
自相关函数	$R[(t_{1},t_{2})] = E[X(t_{1})X(t_{2})]$	同一过程的关联程度
平均自相关函数	$\overline{R_{X}[(\tau)]} = \overline{E[X(t+\tau)X(t)]}=E\overline{[X(t+\tau)X(t)]}$
协方差函数	$C_{x}[(t_{1},t_{2})] = E[X(t_{1})-m_{x}(t_{1})][X(t_{2})-m_{x}(t_{2})]$ $=R_{x}[(t_{1},t_{2})]-m_{x}(t_{1})m_{x}(t_{2})$	偏离均值的关联程度
互相关函数	$R_{xy}[(t_{1},t_{2})] = E[X(t_{1})Y(t_{2})]$	两个过程的关联程度
互协方差函数	$C_{xy}[(t_{1},t_{2})] = E[X(t_{1})-m_{x}(t_{1})][Y(t_{2})-m_{Y}(t_{2})]$ $=R_{xy}[(t_{1},t_{2})]-m_{x}(t_{1})m_{y}(t_{2})$	两个过程的偏离均值的关联程度

2. 功率谱密度

定义	所有样本函数功率谱密度的统计平均
公式	$\overline{P_{x}(f)}=lim_{T\rightarrow \infty }{\frac{E[F[\|x_{T}(t)\|^{2}]]}{T}}$
维纳-辛钦定理	$R_{x }(\tau)\Leftrightarrow P_{x}(f)$
性质	$P_{x}(f)\geqslant 0$ 实随机过程为偶
$P_{x}(f)\geqslant 0$	$\overline{P_{x}}={{E}\overline{[X(t)^{2}]}}=\overline{{E}{[X(t)^{2}]}}=\overline{R_{x}}(0)=\int_{-\infty }^{+\infty}\overline{P_{x}}(f)df$
通过系统	${P_{y}}(f)={P_{x}}(f)\|H(f)\|^{2}$
结论	若,不相关，则 ${P_{x+y}}(f)={P_{x}}(f)+{P_{y}}(f)$ 若为零均值随机过程，为确定的实功率信号， ${P}(f)={P_{x}}(f)+{P_{m}}(f)$

二、平稳随机过程

1. 广义平稳随机过程

判断	的均值为常数，自相关函数只与 $\tau$ 有关
判断	$E[X(t)]=m_{x}=C$ $R_{x}[(t_{1},t_{2})] =R{x}(\tau)$
期望求法	$E[g(z)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(z)f_{z}(z)dz$
性质	各态历经性 / 遍历性：某时刻的所有样本点在样本函数上都存在（时间平均=统计平均）
	时间平均： $\overline{x(t)}=lim_{T\rightarrow \infty}\frac{\int_{-T}^{T}x(t)dt}{2T}$ $\overline{x(t)x(t+\tau)}=lim_{T\rightarrow \infty}\frac{\int_{-T}^{T}x(t)x(t+\tau)dt}{2T}$ 统计平均： $m_{x}(t)=E[X(t)]$ $R_{x}(\tau)=R_{x}[(t_{1},t_{2})]$
	遍历过程 $\rightarrow$ 平稳过程；平稳过程no $\rightarrow$ 遍历过程

2. 数学特征及功率谱密度

① 实平稳随机过程的自相关函数

统计平均功率	$E[X(t)^{^{2}}]=R_x(0)$ 平方均值 = 0时刻的自相关函数
偶函数	$R_x(\tau) = R_x(-\tau)$
有界性	$R_x(\tau)\leqslant Rx(0)$
周期性	$x(t)=x(t+T)\rightarrow R(t)=R(t+T)$
直流功率	$E^{2}[X(t)]=R(\infty )$
交流功率	$\sigma _{x}^{2}=E[X^{2}(t)]-E^{2}[X(t)]=R_{x}(0)-R_{x}(\infty)$

② 平稳随机过程的功率谱密度

公式	$\overline{P_{x}(w)}=E[P_{x}(w)]=\underset{T\rightarrow \infty }{lim}\int_{-T/2}^{T/2}\frac{E[\|x_{T}(t)\|^{2}]}{T}dt$ 样本函数的功率谱密度的统计平均
性质	非负	$P_{x}(w)\geq 0$
	维纳-辛钦	$\overline{R_{x}(\tau)}\Leftrightarrow P_{x}(w)$ 平均自相关函数的傅氏变换
	单边功率谱密度（实）	0 &\\0,w<0 & \end{matrix}\right.">
		$R_{x}(0)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{+\infty}P_{x}(w)dw=\frac{1}{2 \pi}\int_{0}^{+\infty}G_{x}(w)dw=\int_{0}^{+\infty}G_{x}(2\pi f)df$ 平均功率：对功率谱密度在频率轴上积分

3. 联合平稳过程

条件

和

联合平稳

互相关

函数

与无关

$E[X(t)]=m_{x}$ $E[Y(t)]=m_{y}$

$E[X(t+\tau)X(t)]=R_{x}(\tau)$ $E[Y(t+\tau)Y(t)]=R_{y}(\tau)$

$E[X(t+\tau)Y(t)]=R_{XY}(\tau)$

相关性

随机信号

随机过程

不相关：

不同时刻不相关：

$E[X(t_{1})Y(t_{2})]=E[X(t_{1})]E[Y(t_{2})]$

$R_{XY}(t_{1}, t_{2})=m_{X}(t_{1})m_{Y}(t_{2})$

独立:

$f_{xy}(x,y)=f_{x}(x)f_{y}(y)$

独立一定不相关

同时刻不相关： $R_{xy}(0)=0$

$R_{XY}(t, t)=m_{X}(t)m_{Y}(t)$

零均值随机变量相关系数:

$\rho _{xy}(\tau)=\frac {E[XY]}{\sqrt{E[X^{2}]E[Y^{2}]}}$

零均值随机过程相关系数:

$\rho _{xy}(\tau)=\frac {E[X(t_{1})Y(t_{2})]}{\sqrt{E[X^{2}(t_{1})]E[Y^{2}(t_{2})]}}$

4. 平稳随机过程通过线性系统

公式	$Y(t)=X(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(\tau)h(t-\tau)d\tau$
均值	$E[Y(t)]=E[\int_{-\infty}^{+\infty}x(t-u)h(u)du]=\int_{-\infty}^{+\infty}E[X(t-u)]h(u)du$ $=m_{x}\int_{-\infty}^{+\infty}h(u)du=m_{x}H(0)$ H(0) 线性系统的支流增益
自相关函数	$R_{Y}(t,t+\tau)=E[Y(t+\tau)Y(t)]=R_{Y}(t)$ 平稳过程-只与时间间隔有关
功率谱密度	$P_{Y}(w)=F[R_{Y}(t)]=P_{X}(w)\|H(w)\|^{2}$
互相关函数	$R_{XY}(t,t+\tau)=E[X(t)Y(t+\tau)]=R_{X}(\tau)*h(\tau)$
互功率谱密度	$P_{XY}(w)=F[R_{XY}(\tau)]=P_{X}(w)H(w)$
微分	等效于一个传递函数为 $j2\pi f$ 的滤波器
希尔伯特变换	等效于一个传递函数为的滤波器不改变功率谱密度、自相关函数和 $\widehat{X(t)}$ 在同一时刻不相关

5. 复平稳随机过程

① 复随机：实际上是一对实随机过程

公式
均值
自相关函数	$R_{Z}[t_{1},t_{2}]=E[Z(t_{1})Z^{*}(t_{2})]$
互相关函数	$R_{Z_{1}Z_{2}}[t_{1},t_{2}]=E[Z_{1}(t_{1})Z_{2}^{*}(t_{2})]$
共轭相关函数	$Z(t_{1})=Z(t)$ $Z(t_{2})=Z^{*}(t)$
	$R_{ZZ^{*}}(t_{1},t_{2})=E[Z(t_{1})Z(t_{2})]$
	$R_{Z^{}Z}(t_{1},t_{2})=E[Z^{}(t_{1})Z^{*}(t_{2})]$
	$R_{Z^{}Z}(t_{1},t_{2})=[R_{ZZ^{}}(t_{1},t_{2})]^{*}$

② 复平稳

实部虚部联合平稳的条件	均值与t无关： $E[Z(t)]=m_{z}$
	自相关函数与t无关： $E[Z(t+\tau)Z^{*}(t)]=R_{z}(t)$
	共轭相关函数与t无关： $E[Z(t+\tau)Z(t)]=R_{zz^{*}}(\tau)$
结论	X(t)与其希尔伯特变换联合平稳

③ 复联合平稳

条件

X(t)、Y(t)两个复随机过程各自平稳，且互相关、共轭相关与t无关

结论

复联合平稳，经过滤波，联合平稳；

零均值复平稳，经过滤波，零均值复平稳；

零均值复平稳

$R_{X\overset{ \wedge }{X}}(\tau)=R_{\overset{ \wedge }{X}X}(-\tau)=\overset{\wedge }R_{X}(\tau)=\overset{ \wedge }{R}_{\overset{ \wedge }{X}}(-\tau)=-\overset{ \wedge }{R}_{\overset{ \wedge }{X}}(\tau)$

6. 窄带平稳随机过程

① 定义

定义	$\Delta f<<f_{c}$ $\Delta w<<w_{c}$ $X(t)=a(t)cos[w_{c}t+\varphi (t)]=X_{c}cosw_{c}t-X_{s}sinw_{c}t$
X(t) 等效低通表示	$X(t)=X_{c}cosw_{c}t-X_{s}sinw_{c}t$ , $X_{L}=X_{c}(t)+jX_{s}(t)$
	$X(t)=a(t)cos[w_{c}t+\theta (t)]$ , $Z(t)=X_{L}(t)e^{jw_{c}t}$
	$X(t)=Re[X_{L}(t)e^{jw_{c}t}]$ , $Z(t)=X(t)+j\widehat{X(t)}$

② 复包络

自相关函数	$R_{Z}(\tau)=E[z(t+\tau)z^{}(t)]=E[[X(t+\tau)+j\widehat{X(t+\tau)}][X(t)-j\widehat{X(t)}]]$ $=R_{X}(\tau)+R_{\widehat{X}}(\tau)+jR_{X\widehat{X}}(\tau)-jR_{\widehat{X}X}(\tau)$ $=2[R_{x}(\tau)+j\widehat{R_{x}(\tau)}]$ $R_{X_{L}}(\tau)=E[X_{L}(t+\tau)X_{L}^{}(t)]=E[z(t+\tau)e^{-jw_{c}(t+\tau)}z^{}(t)e^{-jw_{c}t}]$ $=R_{z}e^{-jw_{c}\tau}$
功率谱密度	$P_{z}(w)=4P_{x}(w)u(w)$ $P_{X_{L}}(w)=P_{z}(w+w_{c})$
均值	$E[X_{L}(t)]=0$
共轭相关函数	= 0，复包络满足共轭不相关零均值平稳带通过程的复包络是零均值复平稳过程

③ $X_{c}$ 和 $X_{s}$ 统计特性（同相分量及正交分量）

公式	$X_{c}(t)=Re[X_{L}(t)]=\frac{X(t)+\widehat{X(t)}}{2}=X(t)cosw_{c}t+\widehat{X(t)}sinw_{c}t$ $X_{s}(t)=Im[X_{L}(t)]=\frac{X(t)-\widehat{X(t)}}{2}=\widehat{X(t)}cosw_{c}t-X(t)sinw_{c}t$
均值	$E[X(t)]=0\Rightarrow E[X_{c}(t)]=0\: \:\:\:E[X_{s}(t)]=0$
平稳高斯	$E[X(t)]-Guass\: process\Rightarrow E[X_{c}(t)]\:E[X_{s}(t)]-Guass\: process$
广义平稳	为广义平稳过程， $X_{c}(t)$ 和 $X_{s}(t)$ 是联合平稳随机过程(互相关函数仅与时间间隔有关)
	$R_{X_{c}}(\tau)=R_{X_{s}}(\tau)=R_{X}(\tau)cosw_{c}\tau+\widehat{R_{X}}(\tau)sinw_{c}\tau$ $R_{X_{c}X_{s}}(\tau)=R_{X_{s}X_{c}}(-\tau)=\widehat{R_{X}}(\tau)cosw_{c}\tau-R_{X}(\tau)sinw_{c}\tau$
	因为 $\widehat{R_{X}}(t)$ 为奇函数，所以 $\widehat{R_{X}}(0)=0$ 因为, 所以 $R_{X_{c}}(0)=R_{X_{s}}(0)=R_{X}(0)$ 因为 $R_{X_{c}X_{s}}(0)=-R_{X_{s}X_{c}}(0)=0$ ，所以 $X_{c}$ 和 $X_{s}$ 同一时间不相关，若为高斯过程则独立
严格限频信号	$P_{X_{c}}(w)=P_{X_{s}}(w)=\left\{\begin{matrix}P_{x}(w+w_{c})+P_{x}(w-w_c),-w_{c}\leq w\leq w_{c} & \\0 ,others & \end{matrix}\right.$
联合概率密度分布	假定为高斯分布，则在同一时刻 $p_{x_{c}x_{s}}(x_{c},x_{s})=p_{x_{c}}(x_{c})p_{x_{s}}(x_{s})=\frac{1}{2\pi \sigma ^{2}}exp[-\frac{x_{c}^{2}+x_{s}^{2}}{2\sigma^{2}}]$ 令—— $a(t)=\sqrt{X_{c}^{2}+X_{s}^{2}}\:\:\:\:\:\varphi (t)=arctg\frac{X_{s}}{X_{c}}$ $p_{a\varphi}(a,\varphi)=\frac{a}{2\pi \sigma ^{2}}exp[-\frac{a^{2}}{2\sigma^{2}}]$ $p_{a}(a)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{a}{2\pi \sigma ^{2}}exp[-\frac{a^{2}}{2\sigma^{2}}]d\varphi=\frac{a}{\sigma ^{2}}exp[-\frac{a^{2}}{2\sigma^{2}}], a\geq 0$ ——瑞利分布 $p_{\varphi}(\varphi)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{a}{2\pi \sigma ^{2}}exp[-\frac{a^{2}}{2\sigma^{2}}]da=\frac{1}{2\pi},0\leq \varphi\leq 2\pi$ ——均匀分布

7. 循环平稳随机过程

定义	随机过程的均值和自相关函数为时间的周期函数： $X(t)=\sum a_{n}g(t-nT)$ $[a_{n}]$ 为广义平稳随机序列， $E[a_{n}]=m_{a}$ ， $R[a_{n}a_{n+k}]=R_{a}(k)$
均值	$E[X(t)]=E[\sum a_{n}g(t-nT)]=m_{a}\sum g(t-nT)$
自相关函数	$R_{X}(t,t+\tau)=E[X^{}(t)X(t+\tau)]$ $=\sum \sum E[a_{n}^{}(t)a_{m}] g^{}(t-nT)g(t+\tau-mT)$ $=\sum \sum R_{a}[m-n] g^{}(t-nT)g(t+\tau-mT)$ $R_{X}[t+kT,t+\tau+kT]=R_{X}[t,t+\tau]$ ——X(t)为循环平稳
平均自相关函数	$\overline{R_{X}(t,t+\tau)}=\frac{\int_{-T/2}^{T/2}R_{x}(t,t+\tau)dt}{T}=\overline{R_{x}(\tau)}$
功率谱密度	$P_{x}(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{R_{x}(\tau)}e^{jw\tau}d\tau$

三、高斯分布

1. 定义

定义	任意n维概率密度是正态分布式概率密度函数仅取决于各随机变量的均值、方差和两两之间的归一化协方差函数
性质	广义平稳等价于狭义平稳各随机过程之间互不相关等价于统计独立
一维正态分布	$p_{1}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp[{-\frac{(x-a)^{2}}{2\sigma^{2}}}]$
标准化正态分布	$p_{1}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp[{-\frac{x^{2}}{2}}]$ $N\sim (0,1)$
概率积分函数	$\psi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}exp[-\frac{z^{2}}{2}]dz$
概率分布函数	$F (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}p(z)dz=\psi (\frac{x-a}{\sigma})$
误差函数	$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt$ $erf(x)=2\psi (\sqrt{2}x)-1$ $erf(0)=0\:\:\:erf(\infty)=1$ $erfc(x)=1-erf(x)=2-2\psi (\sqrt{2}x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt$

2. 正弦波加窄带高斯过程

合成信号

$n(t)=n_{c}(t)cosw_{c}t-n_{s}(t)sinw_{c}t$ ——窄带平稳高斯噪声，均值为0

表示1

$X(t)=[A+n_c{(t)}]cosw_{c}t-n_{s}(t)sinw_{c}t$

${n_{c}}'(t)=A+n_{c}(t)$ , $n_{s}(t)$ ——高斯分布，同一时刻相互独立

$E[{n_{c}}'(t)]=A\:\:\:\:\:E[n_{s}(t)]=0$

$D[{n_{c}}'(t)]=D[n_{s}(t)]=D[n(t)]=\sigma^{2}$

$p_{{n_{c}}'n_s}(n_{c}',n_s)=\frac{1}{2\pi \sigma^{2}}exp[-\frac{(n_{c}'-A)^{2}+n_{s}^{2}}{2\sigma^{2}}]$

表示2

$X(t)=R(t)cos[w_{c}t+\theta(t )]$ ，其中 $\left\{\begin{matrix}R(t)=\sqrt{n_{c}'(t)^{2}+n_{s}^{2}(t)} & \\\theta(t)=args\frac{n_{s}(t)}{n'_{c}(t)} & \end{matrix}\right.$

$p_{R}(r)=\frac{r}{\sigma^{2}}exp[-\frac{1}{2\sigma^{2}}(r^{2}+A^{2})I_{0}(\frac{Ar}{\sigma^{2}})]$ ——广义瑞利分布（莱斯分布）

（不加正弦波——瑞利分布，加正弦波的包络分布不同——莱斯分布）

信噪比

$r=\frac{A^{2}}{2\sigma ^{2}}$

$A\rightarrow 0 \:\:\:\:f(z)$ ——瑞利分布

$A\rightarrow big\:\:\:\:f(z)$ ——高斯分布

四、高斯白噪声

1. AWGN加性高斯白噪声

A：加性噪声	独立于有用信号（与信号的存在无关）
W：白噪声	功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声（一种理想宽带过程）	$P_{x}(w)=\frac{N_{0}}{2}$ $R(\tau)=\frac{N_{0}}{2}\delta (\tau)$ 直流信号在频谱上表现为0点处的冲激信号 $E^{2}[X(t)]=0$
	带限白噪声	$P_{x}(w)=\left\{\begin{matrix}\frac{N_{0}}{2},\|f\|\leq f_{0} & \\ 0,others & \end{matrix}\right.$ $R_{x}(\tau)=f_{0}N_{0}sinc \tau 2f_{0}$ $P_{x}=\int_{-\infty}^{+\infty}P_{x}(f)df=R_{x}(0)=N_{0}B$
G：高斯过程	噪声的随机电压服从高斯分布
N：噪声	带宽上的噪声的平均功率
通过滤波器	输入为零均值平稳高斯过程——输出为零均值平稳高斯过程输出的功率： $P_{y}=\int_{-\infty}^{+\infty}P_{y}(f)df=\int_{-\infty}^{+\infty}P_{x}(f)\|H(f)\|^{2}df$ $=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{N_{0}}{2}\|H(f)\|^{2}df=\frac{N_{0}}{2}E_{h}=\frac{N_{0}}{2}R_{h}(0)$ 输出的功率谱密度： $P_{y}(f)=P_{x}(f)\|H(f)\|^{2}=\frac{N_{0}}{2}\|H(f)\|^{2}=\frac{N_{0}}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}R_{h}(\tau)e^{-2j\pi f\tau}d\tau$ 输出的自相关函数： $P_{y}(f)$ 为 $\frac{N_{0}}{2}R_{h}(\tau)$ 的傅氏变换， $R_{y}(\tau)=\frac{N_{0}}{2}R_{h}(\tau)$ 零均值——方差=二阶矩=功率

2. 窄带高斯噪声

窄带噪声

输入为零均值平稳高斯过程——输出[n(t)]为零均值平稳高斯过程

功率谱密度：    $P_{n}(f)=\frac{N_{0}}{2}|H(f)|^{2}$
方差（功率）：    $\sigma ^{2}=P_{n}=\frac{N_{0}}{2}E_{h}=\frac{N_{0}}{2}R_{h}(0)$
带宽为𝐵的理想带通滤波器： $\sigma ^{2}=N_{0}B$
概率分布:    $n(t)-N(0, \sigma ^{2})$

$n(t)=n_{c}cosw_{c}t-n_{s}sinw_{c}t$

方差（功率）： $\overline{n(t)}^{2}=\overline{n_{s}(t)}^{2}=\overline{n_{c}(t)}^{2}=2N_{0}B$

频谱搬移后的解调信号 $n_{p}(t)$

$n_{p}(t)=n(t)cosw_{c}t=\frac{1}{2}n(t)+\frac{1}{2}[n_{c}(t)cos2w_{c}t-n_{s}(t)sin2w_{s}t]$

滤波器去噪声 $n_{o}(t)$

$n_{o}(t)=\frac{1}{2}n(t)$

$P_{o}(w)=\frac{1}{4}P_{n_{c}}(w)=\frac{1}{4}N_{0},|w|\leq 2\pi B$

$\overline{n_{o}(t)}^{2}=\frac{1}{4}\overline{n_{c}(t)}^{2}=\frac{1}{2}N_{0}B$

3. 匹配滤波器

滤波器输入	$s(t)\Leftrightarrow S(w)$ 为高斯白噪声，均值为零，双边功率谱密度为 $\frac{N_{0}}{2}$
最大输出信噪比准则下的最佳线性滤波器H(w)	$Y(t)=s_0(t)+n_{0}(t)$ $s_{o}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S(w)H(w)e^{jwt}dw$ $N_{o}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\|H(w)\|^{2}\frac{N_{o}}{2}dw=\frac{N_{o}}{4}\int_{-\infty}^{+\infty}\|H(w)\|^{2}dw$
	$r_{o}=\frac{\|s_{o}(t)\|^{2}}{N_{o}}=\frac{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S(w)H(w)e^{jwt}dw}{\frac{N_{o}}{4}\int_{-\infty}^{+\infty}\|H(w)\|^{2}dw}\leq \frac{2E}{N_{o}}$ $E=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\|S(w)\|^{2}dw=\int_{-\infty}^{+\infty}\|s(t)\|^{2}dt$
	匹配滤波器 $H(w)=KS^{*}(w)e^{-jwt_{0}}$ $h(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}H(w)e^{jwt}dw=Ks(t_{0}-t)$
输出波形	相关器 $s_{o}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t-\tau)h(\tau)d\tau=K\int_{-\infty}^{+\infty}s(t-\tau)s(t_{0}-\tau)d\tau=KR(t-t_{0})$ $s_{o}(t_{0})=KR(0)=KE$ , E为s(t)的能量，通常取1
输出噪声功率	$N_{o}=\frac{\|s_{o}t_{0}\|^{2}}{r_{o_{max}}}=\frac{K^{2}E^{2}}{2E/N_{0}}=\frac{K^{2}N_{0}E}{2}$

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