pascal分布和负二项分布_卡方分布和伽马分布的关系

1. 定义

假设一串独立的伯努利实验（0-1，成功失败，伯努利实验），每次实验（trial）成功和失败的概率分别是 $p$ 和 $1-p$。实验将会一直重复下去，直到实验失败了 $r$ 次。定义全部实验中成功的次数为随机变量 $X$，则：

$$X\sim \operatorname{NB}(r;p)$$

2. PMF（概率质量函数）

$$f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)=\binom{r+k-1}{k}p^{k}(1-p)^{r}$$

• 最后一次显然为失败，前 $r+k-1$ 中发生 $k$ 次成功；

之所以称其为 negative binomial distribution（负二项式分布），在于：

$$\begin{split}\binom{r+k-1}k=\frac{(r+k-1)!}{k!(r-1)!}=&\frac{(r+k-1)(r+k-2)\ldots(r)}{k!}\\=&(-1)^k\frac{(-r)(-r-1)\ldots(-r-k+1)}{k!}\\=&(-1)^k\binom{-r}{k}\end{split}$$

此时不妨对其能否构成概率分布进行简单验证：

$$\begin{split}\sum_k\Pr(X=k)=&(1-p)^r\sum_k(-1)^k\binom{-r}kp^k\\=&(1-p)^r\sum_k\binom {-r}k(-p)^k\\=&(1-p)^r\cdot \left(1-p\right)^{-r}\\=&1\end{split}$$

3. 负二项分布与泊松分布的关系

想要负二项分布中出现 $\lambda$，不妨令 $p=\frac{\lambda}{\lambda + r}$，当 $r\to \infty$：

$$\begin{split}f_X(x)=&\frac{(k+r-1)(k+r-2)\cdots (r)}{k!}p^k(1-p)^r\\=&\frac{(k+r-1)(k+r-2)\cdots (r)}{k!}\frac{\lambda^k}{(\lambda+r)^k}\left(\frac{r}{\lambda+r}\right)^r\\=&\frac{\lambda^k}{k!}\left(\frac{1}{(1+\frac{\lambda}{r})^{r}}\right)\\=&\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\end{split}$$

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