向量相乘matlab_向量内积的坐标运算[通俗易懂]

1. 向量基本形式

形如 $\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)$ 的形式称之为向量。

2. 向量的数乘

指用一个数乘以向量中的每个元素

$$\begin{array}{rlr}b\ast \left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)\ast b& =\left(\begin{array}{c}{a}_1\ast b\\ a_2\ast b\\ ⋮\\ a_n\ast b\end{array}\right)\end{array}$$

3. 向量的内积

等于对应位置相乘再相加，两个向量的内积的结果是变成一个标量（也叫点乘）

$$\begin{array}{rl}a\cdot b=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n& \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)& =a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n\end{array}$$

a = [1;
	 2;
     3];
b = [4;
	 5;
     6];

Matlab语法：dot(a, b)

>> dot(a, b)
ans =
    32

>> a .* b
ans =
     4
    10
    18

>> a * b
错误使用  * 
用于矩阵乘法的维度不正确。请检查并确保第一个矩阵中的列数与第
二个矩阵中的行数匹配。要单独对矩阵的每个元素进行运算，请使用
TIMES (.*)执行按元素相乘。

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在 $b$ 向量在 $a$ 向量方向上的投影，有公式：

$$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$$

详细推导过程请参考：向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读，这里直接放结论

$$\theta =\arccos (\frac{a\cdot b}{|a||b|})$$

根据这个公式就可以计算向量 $a$ 和向量 $b$ 之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

• $a\cdot b>0$ 方向基本相同，夹角在0°到90°之间
• $a\cdot b=0$ 正交，相互垂直
• $a\cdot b<0$ 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

4. 向量的外积

叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于 $a$ 和 $b$ 向量构成的平面。两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直（也叫向量积、叉乘、叉积）

$$\begin{array}{rl}a\times b=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right)& =\left|\begin{array}{ccc}X& Y& Z\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|=(y_1{z}_2-y_2{z}_1)X+(x_2{z}_1-x_1{z}_2)Y+(x_1{y}_2-x_2{y}_1)Z\end{array}$$

a = [1;
	 2;
     3];
b = [4;
	 5;
     6];

Matlab语法：dot(a, b)

>> cross(a, b)
ans =
    -3
     6
    -3

>> dot(a, cross(a, b))
ans =
     0

>> dot(b, cross(a, b))
ans =
     0

关于向量外积的几何含义，我们假设在存在一个三维空间。

在下图可以看到，向量 $V$ 和 $U$ 的外积是指在三维空间中，由 $V,U$ 所组成平面的法向量。

下面一幅图阐述了向量外积的交换律。

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

Ref

1. 矩阵和向量的乘法—点乘、叉乘、内积、外积、数乘、哈达玛积、克罗内克积
2. 向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读
3. 向量积 – 百度百科
4. 第3讲 三维空间刚体运动 – 知乎
5. 向量点乘与叉乘的概念及几何意义 – 知乎

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