提公因式的数学题_公因式定义

扫码查看下载

全部资源

1.1 《等腰三角形》知识精讲

1.2 《直角三角形》知识精讲

1.3 《线段的垂直平分线》

1.4《角平分线》知识点精讲 2.1《不等关系》知识点精讲

2.2 不等式的基本性质

2.3《不等式的解集》

2.4 一元一次不等式

2.5一元一次不等式与一次函数

2.6 一元一次不等式组

3.1 图形的平移

3.2《图形的旋转》

3.3《中心对称》

3.4 简单的图案设计

4.1《因式分解》

提公因式法

1．因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式．2．因式分解与整式乘法是方向相反的变形．3．提取公因式的方法：把多项式各项的公因式提取出来，写成公因式与另一个因式乘积的形式．
【要点梳理】
要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：(1)因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.(2)要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.(3)因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：(1)公因式必须是每一项中都含有的因式.(2)公因式可以是一个数，也可以是一个字母，(3)公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.

知识点精讲1：

要点三、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释： (1)提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即
. (2)用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因 (3)当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项 (4)用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
【典型例题】

知识点精讲2：

例题

探究点一：因式分解的概念

解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因
知识点精讲3：式分解；故选B.方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．探究点二：提公因式法分解因式【类型一】确定公因式

解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是 ab，∴公因式为3 ab.故选D.方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．【类型二】用提公因式法因式分解

方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．【类型三】利用因式分解简化运算

解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.16，进而求出即可．解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．【类型四】利用因式分解整体代换求值

方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．【类型五】因式分解与三角形知识的综合

方法总结：通过提公因式分解因式，找出三边的关系来判定三角形的形状．【类型六】运用因式分解探究规律

解析：(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案；(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案．

方法总结：解决此类问题需要认真阅读理解题意，根据已知得出分解因式的规律是解题关键．类型一、因式分解的概念 1、观察下列从左到右的变形： ⑴；     ⑵ ⑶； ⑷ 其中是因式分解的有         (填序号)
【思路点拨】 根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断．
【答案】 (3).
【解析】 解：(1) 的左边不是多项式而是一个单项式， (2) (4)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．
【总结升华】 因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．举一反三：【变式】(2014•海南)下列式子从左到右变形是因式分解的是(　　) 　A.a+4a﹣21=a(a+4)﹣21        B.a+4a﹣21=(a﹣3)(a+7) 　 C.(a﹣3)(a+7)=a+4a﹣21       D.a+4a﹣21=(a+2)﹣25
【答案】 B. 类型二、提公因式法分解因式
   2、 (1)多项式的公因式是________； (2)多项式的公因式是________；         (3)多项式的公因式是________；         (4)多项式的公因式是________．
【答案】 (1)3    (2)4    (3)    (4)
【解析】 解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式． (1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3. (2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是．公因式为4. (3)公因式是()，为一个多项式因式． (4)多项式可变形，其公因式是．
【总结升华】 确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．举一反三：【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是(　　) A．    B．     C．     D．
【答案】 B； 3、若，则E是(　　) A．      B．       C．       D．
【答案】 C；
【解析】 解：．故选C．
【总结升华】 观察等式的右边，提取的是，故可把变成，即左边＝.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．举一反三：【变式】把多项式提取公因式后，余下的部分是(　　) A．        B．        C．2        D．
【答案】 D；
4、(2015春•新沂市期中) 分解因式：3x (a ﹣b )﹣6y (b ﹣a ).
【思路点拨】 将原式变形后，提取公因式即可得到结果．

【答案与解析】 解：原式=3x (a ﹣b )+6y (a ﹣b )=3 (a ﹣b )(x+2y )．
【总结升华】 此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】用提公因式法分解因式正确的是(　　)

【答案】 C；
类型三、提公因式法分解因式的应用
                                                         5、若
的值.
【答案与解析】

【总结升华】 条件求值要注意观察代数式的结构，这样就能由已知整体代入求值了图文解析：