柳维尔定理与代数基本定理的区别_赫尔维茨定理[通俗易懂]

1. 前言

本文主要介绍代数中的一个重要定理：代数基本定理。它的内容很简单，可以归纳为

代数基本定理：n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根。

从它的名字来看，“基本” 二字说明了这一定理对当时代数研究的重要意义。数学史上，在这一定理出现之前，代数领域的主要研究内容为求解多项式方程，但对于根的一些特性（求解方法，数目）了解甚少。因此，代数基本定理的出现，告诉了人们根的数目。只要求出对应数量的根，经过带入多项式验证之后，就可以证明这些根是其所有解。

在进入复数域之前，我们先考虑实系数多项式。在微积分中，有一种求解任意分式多项式的方法，就是把分母多项式分解为一次以及二次多项式的乘积，然后将整个分式拆分成分母为一次或者二次多项式的简单分式，再对每个部分分别积分相加，即可得到最终的积分结果。

接下来我们从根的角度考虑分母多项式。每拆分出一个一次多项式，表明原多项式有一个实根。对于二次多项式，因为其不能继续分解为一次多项式，其判别式必定小于零，此时在实数域无法进行开根号操作。扩展到复数域之后，每个二次多项式均可得到两个复数根。因此在复数域中，原n次实系数多项式共有n个根（包含重根）。那么对于复系数多项式，是否也有类似的特性呢？代数基本定理给出了肯定的答案。

2.证明方法

2.1 主要思路：反证法

根据数学归纳法，我们只需要证明对于任意一个n(>0)次的复系数多项式，其在复数域中至少有一个根即可。

反证假设：对于一个n次复系数多项式 $P(z) = a_0 + a_1z + \cdots + a_n z^n$ ，对于任意一个复数， $P(z) \neq 0$ 恒成立。

根据这一假设，我们只要推出 P(z) 为常值函数即可，这显然跟多项式函数的性质相反。因为其任意次导数均存在（称为完备的），我们首先介绍一个联系常值函数与完备函数关系的定理——柳维尔定理。

2.2 柳维尔定理

柳维尔定理在常值函数与完备函数之间建立了一座桥梁，其具体表述为

柳维尔定理：如果一个函数在复数域中是完备而且有界的，那么这个函数的值在整个复数域中为常数。

证明：我们考虑一个完备的复函数 f(z) , 其各阶导数均存在。根据柯西积分公式，其在一点 z_0 的一阶导数为

$f^{'} (z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)dz}{(z-z_0)^2}$

其中C为一条简单闭曲线， z_0 为其内点。因为f为有界函数，存在M使得 $|f(x)|\leq M$ ，将其带入上式，可以得到

$|f^{'}(z_0)|\leq \frac{M}{R}$

因为C可以为任意简单闭曲线，即R可为任意正实数，因此上式右边可以为任意小的正数，即导数为0，因此f为一个常值函数。

2.2 代数基本定理证明

因为P(z)不为0，我们考虑函数 $\frac{1}{P(z)}$ ，若能证明这一函数有界，则证明完成。考虑一个辅助变量

$w = \frac{a_0}{z^n}+\frac{a_1}{z^{n-1}}+ \cdots + \frac{a_{n-1}}{z}$ ，

则，根据三角不等式

$|w| \leq \frac{|a_0|}{|z|^n} + \frac{|a_1|}{|z|^{n-1}}+ \cdots + \frac{|a_{n-1}|}{|z|}$ 。

因为z可以为任意复数，因此存在一个正数R使得当|z|>R时，上述不等式右边的每一项都小于 $\frac{|a_n|}{2n}$ (因为当z的模趋近于无穷时，右边每一项均趋近于零)。因此

$|w| < \frac{|a_n|}{2}$ ,

可以得到

(||a_n|-|w||)|z|^n>\frac{|a_n|}{2}R^n”>。

因此，

$\left |\frac{1}{P(z)} \right | < \frac{2}{|a_n|R^n}$ , 对于 R”>（圆盘外区域）。

可以得到该函数在圆盘外有界，又因为其在圆盘内连续，因此其在整个复数域上有界。根据柳维尔定理，该函数为常函数，这跟分式多项式矛盾。因此，P(z)至少有一个复数根。根据数学归纳法，代数基本定理的常用表述也成立。

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