整除概念三要素是什么_23整除判定法则

定义1.1（整除）

  设a,b是任意两个整数，其中b≠0。如果存在一个整数q，使得等式

  注意：这里整除的定义是通过乘法运算给出的（而不是通过除法运算定义的）；通过整数q的存在性表述整除性。另外，符号b|a本身就包含了b≠0。

定理1.1（传递性）

  设a≠0，b≠0，c是三个整数。若a|b，b|c，则a|c。

定理1.2

  设a，b，c≠0是三个整数。若c|a，c|b，则c|a+b或c|a-b。

定理1.3

  设a，b，c≠0是三个整数。若c|a，c|b，则对任意整数s，t有c|sa+tb。

例题1：

    设a，b，c≠0是三个整数，c|a，c|b，如果存在整数s，t，使得sa+tb=1，则c=1或c=-1。
  证明：因为c|a，c|b，存在整数s，t，使得sa+tb=1，于是由定理1.3，有c|sa+tb=1，于是c=1或c=-1.

定义1.2

  设整数n≠0，1，-1，如果除了平凡因数1，-1，n，-n外，n没有其他因数，那么n叫作素数（或质数、不可约数）；否则n叫作合数。

定理1.4

  设n是一个正合数，p是n的一个大于1的最小正因数，则p一定是素数，且p≤√n（根号n）。
  证明：
  反证法。若p不是素数，则存在整数q，1<q<p，使得q|p，由条件知p|n，于是根据定理1.1，有q|n，这与p是n的大于1的最小正因数矛盾。所以p是素数。
  若p>√n成立，则n的另一个因数n/p<n/√n=√n，于是，n/p是一个比p小的因数，这与p是n的大于1的最小正因数矛盾。证毕。
  上述定理说明了两点：素因数可以视为合数的组成部分，且这一组成部分中必然有一个小于等于√n。
  定理1.4给出了寻找素数的有效方法。为了求出不超过给定正整数x（x>1）的所有素数，只要把从2到x的所有合数都删去即可。因为不超过x的合数n必有一个素因子p≤√n≤√x，所以只要先求出√x以内的全部素数｛p_i，1≤i≤k｝（其中，k为√x以内的素数个数），然后把不超过x的pi的倍数（p_i本身除外）全部删去，剩下的就正好是不超过x的全部素数。这种寻找素数的方法称为Eratosthenes筛法。

例题2：

  求出不超过64的所有素数。
  解答：
  先求出不超过√64=8的所有素数，依次为2，3，5，7，然后从2~64的所有整数依次删去除了2，3，5，7以外的2的倍数、3的倍数、5的倍数、7的倍数，剩下的即为所求。具体过程如下所示：

  可见，没有删去的数是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，这些即为不超过64的所有素数。

定理1.5

  素数有无穷多个。
  证明：
  反证法。假设有有限个素数，则不妨设它们为p₁，p₂，…，p_n。考虑大于1的整数

  容易看到，p₁，p₂，…，p_n都不能整除N，于是N没有素因数，由定理1.4知N不是合数，于是N为素数。这与有限个矛盾（因为求出了一个假设以外的新素数）。

定理1.6

  设n>1是一个正整数，若aⁿ – 1是素数，则a = 2，且n是素数。
  证明：
  若a>2，则aⁿ – 1 = (a – 1)(a^n-1 + a^n-2 + … + a + 1)，1 < a – 1 < aⁿ – 1，因此aⁿ – 1不是素数。与已知矛盾，因此a=2。
  a = 2，若n = kl，k>1，l>1则2^kl – 1 = (2^k)^l – 1 = (2^k – 1)(2^k(l-1) + 2^k(l-2) + … + 2^k + 1)，1< 2^k – 1 < 2ⁿ – 1，因此2ⁿ -1不是素数。与已知矛盾，因此，n是素数。

定义1.3

  设p是一个素数，整数M_p = 2^p – 1称为Mersence（梅森）素数。

总结

  本文主要介绍了整除的相关概念及定理，并对其难以理解的定理给予证明，并结合相关例题加深理解。

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