两变量间的相关关系怎么判断_相关系数代表的意义[通俗易懂]

本博文源于《商务统计》。旨在讲述如何从两个变量之间观察相关系数。

相关系数简介

• 对变量之间关系密切程度的度量
• 对两个变量之间线性相关的程度的度量称为简单相关系数
• 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为相关系数，记为$\rho$

相关系数的计算公式

样本相关系数的计算公式
$$r=\frac{\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x-\bar{x}{)}^2\cdot \sum (y-\bar{y}{)}^2}}$$

相关系数的意义取值

相关系数的性质

1. r的取值范围是[-1,1]
2. $|r|=1$,为完全相关;r=1,为完全正相关;r=-1，为完全负相关
3. r=0,不存在线性相关关系
4. $-1\le r<0,为负相关；0<r\le 1，为正相关$
5. |r|越趋于1表示关系越密切，|r|越趋于0表示关系不密切
6. 一般可按照三级划分：$|r|<0.4为低度线性相关，0.4\le |r|<0.7,为显著相关,0.7\le |r|<1,高度线性相关.$
7. r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间的相关系数相等，即$r_{xy}=r_{yx}$
8. r数值大小与x和y的单位无关
9. 仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。这意味着，r=0只表示两个变量之间存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系
10. r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不一定意味着x与y一定有因果关系.

相关系数的假设检验步骤

提出假设

$$H_0:\rho =0;H_1:\rho \ne 0$$
也就是原假设两变量之间无关系，备择假设存在关系，是不理会正相关还是负相关。因此这是双尾检验。

计算检验的统计量

$$t=r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}\sim t(n-2)$$
n是样本数量，r就是这个。
$$r=\frac{\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x-\bar{x}{)}^2\cdot \sum (y-\bar{y}{)}^2}}$$

确定显著性水平$\alpha$

• 若$|t|>t_{\frac{\alpha }{2}}，拒绝H_0$
• 若$|t|<t_{\frac{\alpha }{2}}，不能拒绝H_0$

例子：身高与体重的相关系数的假设检验

提出假设

$$H_0:\rho =0;H_1:\rho \ne 0$$

计算检验的统计量

$$t=0.7236\sqrt{\frac{6-2}{1-0.7236^2}}=2.0967$$

判断决策

总结

相关系数是衡量两个变量之间是否存在相关，如果接近于1那就相关，如果小于0那就负相关。采取的假设检验是t检验。

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