复变函数在通信工程的应用_复变函数什么专业要学「建议收藏」

1. 复数

1.1 复数及其运算

基本概念
$$z=x+iy$$
其中，实部$x=Rez$、虚部$y=Imz$

1.2 共轭复数

定义
设$z=x+iy$是一个复数，称$\bar{z}=x-iy$是z的共轭复数

性质
（1）表示实部虚部
$$\begin{gathered} x=\frac{z+\bar{z}}{2} \\ y=\frac{z-\bar{z}}{2i} \end{gathered}$$
（2）运算拆分
两个复数运算后结果的共轭等于两个复数的共轭复数运算后的共轭
$$\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$$
（3）分数变换
通过共轭复数乘积性质将复数从分母变为分子
$$\begin{gathered} z_1\cdot \overline{z_1}=x^2+y^2 \\ \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{x^2+y^2} \end{gathered}$$

2. 复数的几种表示

2.1 复数的几何表示

复平面
在复平面上，复数z与点z以及向量z视为同一概念
$$z=x+iy⟷(x,y)$$

复数的模与辐角
（1）向量z的长度r称为复数z的模：
$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$
（2）向量z的方向角$\theta$称为复数z的辐角
$$Argz=\theta$$
主辐角$arg\in (-\pi ,\pi ]$，与辐角有如下关系：
$$Arg=arg+\pm 2k\pi$$

2.1.1 实部虚部与模与辐角相互转换关系[1]

（1）已知实部与虚部，求模长与辐角
$$\begin{gathered} z=x+iy \\ |z|=\sqrt{x^2+y^2} \\ argz=arctan(\frac{y}{x}) \end{gathered}$$
利用上述公式可以求得模长与主辐角，辐角与主辐角的转换与复数所处坐标空间相关

$$Argz=\{\begin{array}{l}argz,quad(1,4)\\ argz-\pi ,quad(3)\\ argz+\pi ,quad(2)\end{array}$$

（2）已知模与辐角求实部与虚部
已知模长为r，辐角为$\theta$
$$x=rcos\theta ,y=rsin\theta$$

2.2 复数的三角表示

$$z=r(cos\theta +isin\theta )$$

2.3 复数的指数表示

利用欧拉公式$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$ 可得：
$$z=r\cdot e^{i\theta }$$

2.4 复数三种表示间的转换[2]

利用实部虚部与模长与辐角的转化关系进行表示形式的转化

2.5 利用指数表示进行复数的乘除法运算

乘法
设$z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1},z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}$，可得：
$$z_1\cdot z_2=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$$
理解：两复数相乘，模等于复数模之积，辐角等于复数辐角之和

除法
设$z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1},z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}$，可得：
$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$$
理解：两复数相除，模等于复数模之商，辐角等于复数辐角之差

2.6 复数的乘幂与方根

乘幂
$z^n=z\cdot z\cdots z$，可得：
$$z^n=r^n{e}^{in\theta }=r^n(cos\theta +isin\theta {)}^n=r^n(cos(n\theta )+sin(n\theta ))$$

方根
$$w=z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}{e}^{i(\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n})}$$
证明：$in\theta =\varphi +2k\pi \to \varphi =\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n}$

3. 复变函数

基本概念
$$w=u+iv=u(x,y)+iv(x,y)$$
一个复变函数对应两个二元实变函数

图形表示

极限
设函数$w=f(z)$在$z_0$的去心领域$0<|z-z_0|<\rho$内有定义，若存在复数$A\ne \infty ,\forall ϵ>0,\exists \delta >0$，使得：
$$li{m}_{z\to z_0}f(z)=A$$

连续
若${\lim }_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$，则f(z)在z0点连续
若f(z)在区域D内处处连续，则称f(z)在D内连续

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