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磁陀螺运动与现代物理学漫谈（5）—现代磁学研究物理模型定理

司 今（jiewaimuyu@126.com）

在物理学发展史中，磁与电学曾是二门各种独立的物理学科，且磁学发展要比电学早，但对磁现象作深入的定量研究却落后于电学。

自17世纪，库伦用扭秤确立了静电库伦定理后，他已隐约感到，磁也应存在这种规律，于是他仿照静电学对电荷的测量方法，得出磁体磁极间的相互作用也符合平方反比规律，如果将磁体的二个磁极分别规定为磁荷，如N极为正磁荷，S为负磁荷，就会得出库伦磁荷定理——由此开启了静磁学研究的科学之门。

奥斯特实验

后来，奥斯特实验将电与磁联系在一起，再通过法拉第、安培、毕奥萨伐尔、洛伦兹、麦克斯韦等的接力，最终建立起了现代的电磁学理论体系。

就磁陀螺运动研究而言，应属于经典静磁学范畴，用静磁学的一些理论去描述、诠解磁陀螺在磁场中的运动会更切合实际。

在经典的磁场理论中，一个最基本的公式就是库伦磁极公式F=kmqm1qm2/r2，但磁极与电场理论中电荷的概念不一样，电场中独立的正负电荷可以单独存在，而单独的正负磁极实际上是不存在的，磁极从来都是成对出现的。正负磁极一般称为磁北极和磁南极，为了避免这种理论上的困难，经典磁场理论认为一个非常细长磁铁中的一个磁极则可以被近似地被看作是一个单独的磁极；根据这一个假设，从而可以得出一个单独磁极在磁场中所受的力与磁极本身的强度成正比、与磁极所在地点的磁场强度成正比关系。

库伦磁极力实验

经典磁场理论中，绝大多数公式都是正确的，并一直沿用至今，但在整个理论中体系中最根本的问题是它采用了一个实际上并不存在的所谓单独的“磁极”假设，这正是经典磁学理论中所谓“库伦磁方法”的一个致命弱点。

1、磁极

人类认识磁性、磁场属性等都是从磁极开始的，所谓磁极就是如图-1所示，如果将一块条形磁铁投入到碎铁屑中，再取出时可以发现，靠近磁铁二极的地方吸引铁屑特别多，即磁性特别强，这块磁性特别强的区域就称为磁极，中部没有磁性的区域叫做磁中性区；磁极之间遵循“同极相斥、异极向吸”原则。

从广度和深度而论，磁铁的这些特性对与宏观的偶磁极恒星、行星、磁陀螺、小磁针等，微观的偶磁极原子核、质子、中子、电子等都应适用。

磁极概念是磁荷思想的起源。

2、磁荷模型与库伦磁定理

2.1、磁荷模型

在电学中，点电荷模型是与牛顿力学质点模型相衔接的，按磁荷观点建立的模型也是如此；同点电荷一样，点磁荷也要求“自身的几何线度远小于它与场点之间距离”的磁体，如一根细长磁针两端的磁极就可以看作是点磁荷（如图-2）。

在早期的磁理论中，磁荷与电荷完全对称的，如图-3.1、2，但由于一直没有找到像电荷一样能够独立存在的单磁荷，故点磁荷模型就被后来的磁偶极子模型所取代。

2.2、库伦磁荷定理

电荷之间相互作用的基本规律遵守库仑电荷定律，磁荷之间相互作用的基本规律则是库仑磁荷定律，它是整个磁荷理论的出发点。早在得到电荷库仑定律之前，库仑就通过实验方法得到了两个点磁荷之间相互作用的规律，即磁库仑定律。

如图-4，与电偶极子类比，一个“小磁针”可以看成,是一个磁偶极子，在它的两端各带正、负磁荷（设N极带有正磁荷+qm， S带负磁荷-qm）。库伦用精心设计的实验证明，点磁荷1、2之间也服从类似点电荷之间的库伦定律式：F=kmqm1qm2/r2= qm1qm2/4πμ0 r2.

虽然单极磁荷并不存在，但库伦磁荷定理却反映了磁体磁场的分布规律及二个磁体之间相互作用的规律，因此，它在经典磁学研究中仍占有重要位置，并起重要的定量作用。

3、偶极子模型与磁矩原理

库伦点磁荷模型同牛顿质点概念一样，存在弊端：牛顿质点或库伦点磁荷模型都不可能将磁体或自旋粒子看做是具有偶极性的，只能被认为是单级性的；

对于偶极磁体或自旋磁粒子而言，将不可能再沿用经典质点或磁荷概念来建立模型，因为，再小的偶极磁体或自旋磁粒子都不可能有单级属性，这是经典质点力学、库伦磁荷理论与偶极磁体或自旋磁粒子最难以融合的地方，于是就诞生了磁偶极子模型。

磁偶极子是类比电偶极子（如图-5）而建立的物理模型。具有等值异号的两个点磁荷构成的系统称为磁偶极子（如图-6）；比如，一个自旋磁陀螺就可以视为一个磁偶极子，地磁场也可以看作是由磁偶极子产生的场。

磁偶极子受到力矩作用会发生转动，只有当力矩为零时，磁偶极子才会处于平衡状态——认识这一点很重要，它是研究自旋偶极磁体在磁场中运动的立论核心。

利用这个道理，可以进行磁场测量。但由于没有发现单独存在的磁单极子，因此磁偶极子的物理模型不再是两个磁单极子，而是由一段封闭回路电流所产生的磁偶所取代。

由于磁偶极子模型能够很好地描述小尺度闭合电路元产生的磁场分布 ，故我们将一个载有电流的圆形回路作为磁偶极子的模型（如图-7），常用磁矩来描述磁偶极子磁性的强弱，即μ=IS，其中I为回路电流，S为回路面积矢量，方向由电流方向决定，满足右手定则。

用“回路电流”代替偶极磁子，这是安培用分子电流观点解释磁性起源的基本依据，也是磁极化理论建立的基础，由此开启了电学与磁学大融合之门。

4、磁场模型与理论

4.1、磁荷模型与磁场理论

从磁荷库伦定理上中可以看出，与电荷电场强度定义相类比，我们可以引进磁场强度H概念，即H=F/qm0，这里F是试探点磁荷qm0所受的力。

不过，这种磁场强度从磁荷质点角度讲是一种点磁极线性磁场强度，用图描述就是图-8所示。

磁荷模型给出的磁场描述存在一种弊端，那就是因磁荷不存在而表现出虚幻性，它不适于描述偶极磁体的磁场分布规律，因质点不可能分偶极，只能是单级性。

就法拉第磁体力线模型而言，偶极磁体（磁偶极子）的磁力线分布呈扁南瓜型，如图-9所示，对其纬度向的磁场强度空间分布该如何描述呢？这时就需要引入高斯磁定理，从而使磁场理论趋以完善。

4.2、磁磁力线模型与高斯磁定理

4.2.1法拉第磁力线模型

磁力线是法拉第最先“发明“并引入的；如图-10，他在玻璃板下放置一条形磁体，并在玻璃板上洒布铁粉，然后轻轻敲击使板振动，则铁粉会联成许多细小线段，从而显示出永久磁铁周围的磁场分布，这是由于铁粉在磁场中受力并互相吸引而形成的，法拉第将其形象地称为磁力线；据此，他绘制出了一个简化的磁体磁力线物理模型图，如-10所示。

正是在磁力线启发下，法拉第提出了磁场是真实的物理存在，磁场作用不是突然发生的“超距作用”，而是经过力线（假想线）逐步传递的；但要注意，磁力线是为了形象地研究磁场而人为假想的曲线，并不是客观存在于磁场中的真实曲线。

现在人们了解到，磁场、电场都是一种特殊形态的物质，并不需要力线来解释，因力线解释必然会受到机械观念的限制；但是磁力线（包括电力线）作为一种场物理模型，使比较抽象的场得到形象直观的展现，它对初期的电磁场理论发展起着重大推动作用，而至今仍然为人们所沿用。

法拉第力线虽是从磁铁周围吸引铁屑启示中抽象出来的，但它实际上揭示的是力作用可以用“场”来描述的思想，是对力起源问题最直观的认知；它为后来的高斯定理和麦克斯韦方程组的出现奠定了基础，并由此开启了有别于牛顿力学的“场物理学”时代的正式诞生，并将牛顿的力与宏观、微观世界联系在了一起。

4.2.2、高斯磁场定理

高斯磁场定理是建立在法拉第力线概念之上的，他将任意面积上穿过的力线根数总量称为磁力线通量，即磁通量，常用Φm来表示，且有Φm=BS.

高斯磁场定理对磁场强度的描述分二种类型：

（1）、闭合曲面类型

如图-11左边是闭合曲面例子，包括球面、环面和立方体面；穿过这些曲面的磁通量等于零。

这时，高斯磁定律方程可以写为两种形式：微分形式和积分形式；根据散度定理，这两种形式为等价的。

高斯磁定律的微分形式为▽▪B=0 其中，B是磁场；这是麦克斯韦方程组中的一个方程。

高斯磁定律的积分形式为∮S B·da=0，其中，S是一个闭合曲面，da是微小面积分；方程左边项，称为通过闭合曲面的净磁通量，高斯磁定律阐明这净磁通量永远等于零。

当然，假若将来科学家发现有磁单极子存在，则高斯磁定律就不正确了，那么，这个定律就必须做适当修改，即磁场的散度会与磁荷密度ρm成正比：▽▪B=μ0ρm，其中，μ0 是磁常数。

（2）、开放曲面类型

如图-11右边是开放曲面，包括圆盘面、正方形面和半球面；都具有边界（以红色显示），不完全围入三维体积，穿过这些曲面的磁通量就不一定等于零。

如图-12所示，磁力线通过图面所形成的磁场强度就是：磁体磁场强度H=Φm/S⊥，感应磁场强度B=Φm/S⊥.

可见，高斯在处理磁偶极子磁场力线强度分布时与电荷电场是有很大区别的，具体说就是，在闭合曲面磁力线强度为0的方程，它是构成麦克斯韦电磁波的重要组成部分；而在开放曲面磁力线强度可以不为0，它是解决楞次电磁感应定律的主要数学工具。

在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场（如图-13.1）；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零，是无源场（如图-13.2）。

如果单极磁子被发现，那么高斯磁定律的磁场分布就与电荷电场分布相雷同了。

4.2.3、二种磁场模型的优缺点

虽然自然界不存在独立运动的磁荷，但磁荷模型是库伦磁定理建立的基础，是静磁学定量不可缺少的最基本定理，同时，它还可以将磁学与牛顿质点、点电荷概念衔接起来，有利于我们认识磁体运动规律。

磁力线也不存在，但磁力线模型可以帮助人们理解抽象的磁场属性，同时还有利于将局部非闭合曲面磁场强度进行定量描述。

但我们必须认清，这二种模型都是建立在“不存在”的假设条件下的，因此，它们不可能真实反映磁体磁场及其相互作用的实际，要想将这二种个“不存在”的假设去掉，就须重新解读法拉第力线模型的物理意义，以找出和建立能够真正体现磁体间相互作用的新物理模型。

由于现实中磁偶极子是真实存在的，但不可以被看作是点磁荷（如图-14），这就决定了对它们运动的研究就不可能再用经典的磁荷概念来描述，只能从偶极子所受力矩模型中去讨论自旋偶极磁体在磁场中运动所应遵循的物理规律，但目前物理学并没有真正看清和做到这一点；现在，我们只有从质点、磁荷、磁力线概念中解放出来，才能真正看清自旋磁粒子、星体运动的物理本质，这就是我下一篇《重论法拉第力线》所要谈到的内容，敬请关注！

【参考文献】略

【注】：

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