判断向心加速度大小_加速度方向的判断方法

《古朗月行》

【作者】李白【朝代】唐

小时不识月，呼作白玉盘。

又疑瑶台镜，飞在青云端。

仙人垂两足，桂树何团团。

白兔捣药成，问言与谁餐。

蟾蜍蚀圆影，大明夜已残。

羿昔落九乌，天人清且安。

阴精此沦惑，去去不足观。

忧来其如何，凄怆摧心肝。

《古朗月行》出自《全唐诗》，是唐代大诗人李白借乐府古题创作的一首诗。此诗开头写孩提时代对月亮稚气的认识，写出了月亮初升时逐渐明朗和宛若仙境般的景致，接着写月亮渐渐地由圆而蚀，继而沦没而迷惑不清，最后表达为月亮的沦没而心中感到忧愤不平。诗人运用浪漫主义的创作方法，通过丰富的想象，神话传说的巧妙加工，以及强烈的抒情，构成瑰丽神奇而含意深蕴的艺术形象。全诗文辞如行云流水，富有魅力，发人深思，体现出李白诗歌雄奇奔放、清新俊逸的风格。

诗中两句“小时不识月，呼作白玉盘”描述了对月亮的认识，随着知识的增长，我们知道月亮实质上是地球的第一个卫星，可认为它绕地球做类似圆周运动。如果我们把月亮绕地球运行理想化成匀速圆周运动，通过前面的学习我们知道做匀速圆周运动的物体，尽管线速度大小不变，但方向却时刻变化，因此，它运动的加速度一定不为 0。那么，该如何确定月亮在轨飞行时加速度的方向和大小呢？

今天我们一起来学习高中物理必修第二册第六章圆周运动第三节《6.3 向心加速度》，下面我们先来看一段视频：

向心加速度【视频来源：物理大师】

1匀速圆周运动的加速度方向

物体做匀速圆周运动时，所受合力提供向心力，合力的方向总是指向圆心，如图所示。根据牛顿第二定律，物体运动的加速度方向与它所受合力的方向相同。因此，物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。

典型例题：如图，一质点做匀速圆周运动，经过p点时其向心加速度( )

A．沿a的方向 B．沿b的方向

C．沿c的方向 D．沿d的方向

【答案】D

【解析】做匀速圆周运动的物体的加速度为向心加速度，方向指向圆心；A．沿a的方向，与结论不相符，选项A错误；B．沿b的方向，与结论不相符，选项B错误；C．沿c的方向，与结论不相符，选项C错误；D．沿d的方向，与结论相符，选项D正确。

2匀速圆周运动的加速度大小

需要注意的是前面我们学习的牛顿第二定律不仅适用于直线运动，对曲线运动同样适用。根据牛顿第二定律和向心力表达式，可得出向心加速度的大小：

a_n=v²/r或a_n=ω²r

注意：

①从公式a_n=v²/r看：线速度一定时，向心加速度与圆周运动的半径成反比；

②从公式a_n=ω²r看：角速度一定时，向心加速度与半径成正比。

思考与讨论

自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图。其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？请同学思考一下，并尝试解释。

由牛顿第二定律和向心力表达式，我们可以得出向心加速度的大小，下面我们就通过一个视频来学习一下向心加速度公式的推导：

拓展：向心加速度公式推导

典型例题：如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度a_n 的大小为多少？通过计算说明：要增大夹角 θ，应该增大小球运动的角速度ω。

【分析】由于小球在水平面内做圆周运动，向心加速度的方向始终指向圆心。可以根据受力分析，求出向心力的大小，进而求出向心加速度的大小。根据向心加速度公式，分析小球做圆周运动的角速度ω与夹角θ之间的关系。

【解答】根据对小球的受力分析，可得小球的向心力

F_n＝mg tan θ

根据牛顿第二定律可得小球运动的向心加速度：

a_n＝F_n/m＝g tan θ ⑴

根据几何关系可知小球做圆周运动的半径:

r ＝l sin θ ⑵

把向心加速度公式 a_n＝ω²r 和⑵式代入⑴式，可得:

cos θ ＝g/lω²

从此式可以看出，当小球运动的角速度增大时，夹角也随之增大。因此，要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω.

上面我们通过一个例题理解了向心加速度的公式，下面我们再通过一个视频来看一下向心加速度公式的理解与应用：

向心加速度的理解与应用

典型例题：如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比(　　)

A．线速度之比为1∶4

B．角速度之比为4∶1

C．向心加速度之比为8∶1

D．向心加速度之比为1∶8

【答案】D

【解析】A．由题意知v_a＝v₃，v₂＝v_c，又轮2与轮3同轴转动，角速度相同，v₂＝2v₃，所以v_a∶v_c＝1∶2，A错误。

B．角速度之比为ω_a/ω_c=v_a/r_a:v_c/r_c=1/4，B错误。

CD．设轮4的半径为r，则a_a=v_a²/r_a=(0.5v_c)²/ 2r =v_c²/8r= a_c/8，即a_a∶a_c＝1∶8，C错误，D正确；

故选D。

3考题再现

习题1：关于向心加速度，正确的说法是( )．

A．向心加速度越大，线速度也越大

B．向心加速度越大，角速度也越大

C．向心加速度越大，圆周运动半径越小

D．向心加速度越大，线速度和角速度的乘积也越大

习题2：如图所示，一偏心轮绕O点做匀速转动。偏心轮边缘上A、B 两点的(　　)

A．线速度大小相同 B．角速度大小相同

C．向心加速度大小相同 D．向心加速度方向相同

习题3：《茅山奇谈录》一书中记载着“血滴子”是清朝一位精通天文地理武术医术的茅山道人泉青发明的，能用它降魔伏妖，二十步内取首级如探囊取物，非常恐怖．血滴子主要构造已无从考证，据传其主要部件如图，刀片绕中心O点转动，A、B为刀片上不同位置的两点．v代表线速度，ω代表角速度，T代表周期，a代表向心加速度，则下列说法正确的是(　　)

A．v_A＝v_B，T_A＝T_B

B．ω_A＝ω_B，v_A＞v_B

C．v_A＜v_B，a_A＜a_B

D．a_A＝a_B，ω_A＝ω_B

习题4：如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知(　　)

A．A物体运动的线速度大小不变

B．A物体运动的角速度大小不变

C．B物体运动的角速度大小不变

D．B物体运动的角速度与半径成正比

习题5：如图所示，半径r=1/3m的两圆柱体A和B，转动轴互相平行且在同一水平面内，轴心间的距离为s=3.2m。两圆柱体A和B均被电动机带动以ω=6rad/s的角速度同方向转动，质量均匀分布的长木板无初速地水平放置在A和B上，其重心恰好在B的正上方。从木板开始运动计时，圆柱体转动两周，木板恰好不受摩擦力的作用，且仍沿水平方向运动。设木板与两圆柱体间的动摩擦因数相同。重力加速度g=10.0m/s²，取π≈3.0。求：