$$X\sim B(n,p)$$
$(III)$泊松分布(离散型)

$$X\sim \pi(\lambda)$$
$(IV)$几何分布（离散型）

$$X\sim G(p)$$
$(V)$超几何分布（离散型）

$$X\sim H(n,M,N)$$
$(VI)$均匀分布(连续型)

$$X\sim U(a,b)$$
$(VII)$指数分布(连续型)

$$X\sim E(\theta)$$
$(VIII)$正态分布(连续型)

$$X\sim N(\mu,\sigma^2)$$
标准正态分布：

$$P\{X=k\}\geq0,k=0,1,2,\cdots,n;$$

$$\sum_{k=0}^{n}P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}=(p+q)^n=1$$
所以$P\{X=k\}$满足条件$1^{\circ},2^{\circ}$，注意到$\begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}p^kq^{n-k}$刚好是二项式$(p+q)^n$的展开式中$p^k$的那一项，我们称变量$X$服从参数为$n,p$的二项分布，并记为$X\sim b(n,p)$.
特别的，当$n=1$时二项分布化为

$$P\{X=k\}=p^kq^{1-k},k=0,1$$
这就是$(0-1)分布$.

$(III)$泊松分布(离散型)

设随机变量$X$所有可能取值为$0,1,2,\cdots$,而取各个值得概率是

$$P\{X=k\}=\dfrac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots$$
其中$\lambda>0$是常数。则称$X$是服从参数$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim \pi(\lambda)$
对于条件$1^{\circ},2^{\circ}$
$P\{X=k\}\geq0,k=0,1,2,\cdots$且有

$$\sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}=1$$

泊松定理

$$\begin{aligned}\begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}&=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\\&=\dfrac{\lambda^k}{k!}[1\cdot(1-\dfrac{1}{n})\cdots(1-\dfrac{k-1}{n})]\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-k}\\\end{aligned}$$
对任意固定的$k$，当$n\rightarrow\infty$

$$1\cdot(1-\dfrac{1}{n})\cdots(1-\dfrac{k-1}{n})\rightarrow1,\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n}\rightarrow e^{-\lambda},\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-k}\rightarrow1.$$
故有：

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=\dfrac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$$

$(IV)$几何分布（离散）

如果$X$的概率分布为$P\{X=k\}=q^{k-1}p(k=1,2\cdots;0<p<1;q=1-p)$则称$X$服从参数为$P$的几何分布，记为$X\sim G(p)$

$(V)$超几何分布（离散）

从一个有限总体中进行不放回抽样常会遇到超几何分布
设由$N$个产品组成的总体，其中含有$M$个不合格品，若从中随机不放回地抽取$n$个，其中含有不合格的产品个数$X$是一个离散型随机变量，假如$n\leq M$，则$X$的可能取值为$0,1,\cdots,n$;若$X$可能取值$0,1,\cdots,M$由古典方法

$$P\{X=x\}=\dfrac{C_{M}^{x}C_{N-M}^{n-x}}{C_{N}^{n}}\tag{*}$$
由组合等式

$$\sum_{x=0}^{r}C_{M}^{x}C_{N-M}^{n-x}=C_{N}^{n}$$
可以看出上述的概率之和为$1$,即$\sum_{x=0}^{r}P\{X=x\}=1$故$*$式所表示的一组概率构成一个概率分布，这个分布称为超几何分布
它含有三个参数$N,M,n$记为$X\sim H(n,N,M)$
数学期望
若$X\sim H(n,N,M)$，则数学期望为

$$E(X)=\sum_{x=0}^{r}x\dfrac{C_{M}^{x}C_{N-M}^{n-x}}{C_{N}^{n}}=\dfrac{nM}{N}\sum_{x=1}^{r}\dfrac{C_{M-1}^{x-1}C_{N-M}^{n-x}}{C_{N-1}^{n-1}}=\dfrac{nM}{N}$$
当$n\ll N$（即抽取个数$n$远远小于产品数$N$）时，每次抽取后，总体中不合格品率$p=\dfrac{M}{N}$改变非常小，这时候的不放回抽样可以看成是放回抽样，这时候超几何分布可以用二项分布来近似。

随机变量的分布函数

设$X$是一个随机变量，$x$是任意实数，函数

$$F(x)=P\{X\leq x\},-\infty<x<+\infty$$
称为$X$的分布函数。
对于任意实数$x_1,x_2,(x_1<x_2)$,有

$$\begin{aligned}P \{x_1<X \leq x_2 \}&#038;=P\{X\leq x_2\} - P\{X \leq x_1\}\\&#038;=F(x_2)-F(x_1)\end{aligned}\tag{A}$$
因此如果已知$X$的分布函数，我们就知道$X$落在区间$(x_1,x_2]$上的概率。
如果将$X$看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数$F(x)$在$x$处的函数值就表示$X$落在区间D$(-\infty,x]$上的概率。
分布函数$F(x)$具有以下的基本性质：

$1^{\circ}$:
$F(x)$是一个不减函数
事实上式$(A)$对于任意的实数$x_1,x_2(x_1<x_2)$，有

$$F(-\infty)=\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0,F(\infty)=\lim_{x\rightarrow\infty}F(x)=1$$
$3^{\circ}$:
$F(x+0)=F(x)$

连续型随机变量概率密度

如果对于随机变量$X$的分布函数$F(x)$,存在非负可积函数$f(x)$,对于任意实数$x$有

$$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\mathbb{d}t$$
则称$X$为连续型随机变量，$f(x)$称为$X$的概率密度函数，简称概率密度
概率密度函数的性质：

$1^{\circ}$:

$$P\{x_1<X\leq x_2\}=F(x_2)-F(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)\mathbb{d}x$$
$4^{\circ}$:若$f(x)$在点$x$处连续，则有$F^{'}(x)=f(x)$

若$f(x)$具备性质$1^{\circ},2^{\circ}$,引入$G(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\mathbb{d}t$,它是某一随机变量$X$分布函数，$f(x)$是$X$的概率密度。

三个重要的连续型随机变量

$(VI)$均匀分布(连续型)

若连续型随机变量$X$具有概率密度

f(x)=⎧⎩⎨1b−a0,a<x<b,其他

$$f(x)=\{\begin{array}{rlr}& {\displaystyle \frac{1}{b-a}}& ,a<x<b\\ & 0& ,其他\end{array}$$

$$f(x)=\left\{\begin{aligned}&\dfrac{1}{b-a}&,a<x<b\\&#038;0&#038;,其他\\\end{aligned}\right.$$
则称$X$在区间$(a,b)$上服从均匀分布。记为$X\sim U(a,b)$

分布函数

F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪0x−ab−a1,x<a,a≤x<b,x≥b F ( x ) = { 0 , x < a x − a b − a , a ≤ x < b 1 , x ≥ b

$$F(x)=\left\{\begin{aligned}&0&,x<a\\&#038;\dfrac{x-a}{b-a}&#038;,a\leq x<b\\&#038;1&#038;,x\geq b\\\end{aligned}\right.$$

$(VII)$指数分布(连续型)

若连续型随机变量$X$具有概率密度

$$f(x)=\left\{\begin{aligned}&\dfrac{1}{\theta}e^{{-x}/{\theta}}&,x>0\\&0&,其他\\\end{aligned}\right.$$
分布函数

$$F(x)=\left\{\begin{aligned}&1-e^{-x/\theta}&,x>0\\&0&,其他\\\end{aligned}\right.$$

无记忆性：
对于任意的$s,t>0$,有

$$P\{X>s+t\mid X>s\}=P\{X>t\}$$

$$\begin{aligned}P\{X>s+t\mid X>s\}&=\dfrac{P\{(X>s+t)\cap(X>s)\}}{P\{X>t\}}\\&=\dfrac{P\{X>s+t\}}{P\{X>t\}}=\dfrac{1-F(s+t)}{1-F(s)}\\&=\dfrac{e^{-(s+t)/\theta}}{e^{-s/\theta}}=e^{-t/\theta}\\&=P\{X>t\}\\\end{aligned}$$

$(VIII)$正态分布(连续型)

若连续型随机变量$X$具有概率密度

$$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty<x<+\infty$$
其中$\mu,\sigma(\sigma>0)$为常数，则称$X$服从参数为$\mu,\sigma$的正态分布或高斯分布，记为$X\sim N(\mu,\sigma^2)$
相关性质：

$1^{\circ}$:曲线关于$x=\mu$对称，这表明对于任意$h>0$有

$$P\{\mu-h<X\leq\mu\}=P\{\mu<X\leq\mu+h\}$$
$2^{\circ}$:当$x=\mu$时取到最大值

$$f(\mu)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$$

分布函数

$$F(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\dfrac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}\mathbb{d}t$$

标准正态分布
特别当$\mu=0,\sigma=1$时称变量$X$服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别用$\phi(x),\Phi(x)$表示，既有：

$$\phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\\\Phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-t^2/2}\mathbb{d}t\\容易得到：\Phi(-x)=1-\Phi(x)$$
引理：
若$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$
证：

$$\begin{aligned}P\{Z\leq x\}&=P\left\{\dfrac{X-\mu}{\sigma}\leq x\right\}\\&=P\{X\leq \mu+\sigma x\}\\&=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\mu+\sigma x}e^{-\dfrac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}\mathbb{d}t\\令：\dfrac{t-\mu}{\sigma}=u，得\\P\{Z\leq x\}&=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-u^2/2}\mathbb{d}u=\Phi(x)\\\end{aligned}$$