三次样条插值的缺点_三次样条插值函数

三次样条插值函数

高次插值函数的计算量大,有剧烈振荡,且数值稳定性差；在分段插值中，分段线性插值在分

段点上仅连续而不可导，分段三次埃尔米特插值有连续的一阶导数，如此光滑程度常不能满足物理问题的需要，样条函数可以同时解决这两个问题,使插值函数既是低阶分段函数,又

是光滑的函数，并且只需在区间端点提供某些导数信息。

5.6.1三次样条函数

定义 设在区间［a,b］上取 n+1

个节点

a= =b

函数y=f(x)在各个节点处的函数值为 =f(

)(i=0，1，…，n)，若S(x)满足：

(1) S( )= ，i=0，1，…，n ；

(2) 在区间［a,b］上，S(x)具有连续的二阶导数；

(3) 在区间［ ］(i=0，1，…，n-1)上,S(x)

是x的三次多项式；

称S(x) 是函数y=f(x)在上［a,b］上的三次样条插

S′( +0)=S′(

-0)， (5)

S″( +0)=S″( -0)

此时 ，这样确定的样条函数S(x)称为周期样条函数。

5.6.2三次样条函数的计算

1用节点处的二阶导数表示的三次样条函数——三弯矩方程

由于S(x)的二阶导数连续，设S(x)在节点 的二阶导数为 ，即

S″( )＝ ，i=0，1，…，n，

是未知、待定的数。因S(x)是分段三次多项式，则S″(x)是分段一次多项式，且在每个 区间［ ］上，S″(x)可表示为

记 ＝ – ，则

将上式在区间［ ］上积分两次，并且由S( )＝ ，S( ) ＝

来确定两个积分常数，可得当x∈［ ］时,

S(x)=

(5.6.6)

对上式求导得:

S′(x)= (7)

利用S(x)一阶导数连续的性质，在上式中令x= ，得:

将式(7)中的i换成i-1，得S′(x)在［ ］上的表达式

S′(x)=

用x= 代入，得：

利用S′( －0)＝S′( ＋0)可得:

两边乘以 ，得:

i=1,2,…,n-1 (5.6.8)

其中

(9)

这是含有n+1个未知量 共有n-1个方程组成的线性方程组，欲确定该方

程组的解,尚缺2个方程。因此求三次样条函数还要2个附加条件。

常见的问题有下面两种提法:

①第一类问题 附加条件①，即给出边界端点的一阶导数值:S′( )＝ ，S′( 。

利用前面已推导的公式，当x∈［ ］时，

S′(x)=

取i＝0，x= ，得:

＝

取i＝n-1，x＝ ，得：

移项，得：

其中 与式(8)联立得一n+1元线性方程组：

(10)

其系数矩阵是严格对角占优的三对角矩阵：

可以用追赶法解出

(i=0,1,…,n)，将其代入式(6)，即得到三次样条函数的分段表达式。

②第二类问题 附加条件②，即给出边界端点的二阶导数值：S″( ) ＝ ，S″( )＝ ，代入式(8)得一n-1元线性方程组：

(11)

其系数矩阵为

这是一个三对角矩阵，由于 ，因而它是严格对角占优的。原方程组

是个三对角方程组，可以用追赶法解出 ，代入式(6)，即得到三次样条函数的分段表达式。

2用节点处的一阶导数表示的三次样条函数——三转角方程

由于S(x)的一阶导数连续，设S(x)在节点 处的一阶导数值为 ，即

S′( )＝ ，i＝0，1，…，n，

是未知、待定的数。因S(x)是分段三次多项式，则在每个区间［ ］

上是三次多项式，且满足

S( )＝ ，S( )＝ ，S′( )＝ ，S′( )＝ ，

故S(x)是［ , ］上的分段三次埃尔米特插值多项式，当x∈［ ］时



S(x)= ( ) + ( ) +

(x- )  + (x- ) (i=0，1，…，n-1)

(3)

或写为

S(x)= +



将上式在区间［ ］上求导两次,可得当x∈［ ］时,

S′(x)= +

和

S″(x) =

+

利用S(x)二阶导数连续的性质， 在上式 中令x= ，得：

S″( +0)=

将上式中的i换成i-1 ，得S″(x)在［ ］上的表达式

S″(x) == +

用x= 代入，得：

S″( -0)=

利用S″( -0)=S″( +0)可得：

两边乘以 ，得：

(13)

其中

(14)

这是含有n+1个未知 量

共有n-1个方程组成的线性方程组，欲确定该方程组的解，尚缺2个

方程。因此，求三次样条函数还要2个附加条件。有关情形与节点处的二阶导数表示的三次样条函数类似，叙述如下：

①第一类问题 附加条件①，即给出边界端点的一阶导数值：

时，则方程组为：

(15)

②第二类问题 附加条件②，即给出边界端点的二阶导数值：S″( ) ＝

，

S″( )＝ ， 时，利用前面己推导的公式，当x∈［ ］时，

S″(x) = +

取i=0，x= ，得：

 

取i=n-1，x= ，得

移项，得：

其中g0=3f［x0，x1］-〖SX()h0〖〗2〖SX〗〗M0，gn=3f［x

n-1，xn］+〖SX()hn-1〖〗2〖SX〗〗Mn.与式(13)联立可以建立如下方程组 ：

(16)

两种情形的系数矩阵均为严格对角占优的三 对角矩阵，可

以用追赶法求解，从而得到三次样条函数的分段表达式。

例1 已知f(x)的函数值为

0

1

2

3

0

0

0

0

试分别求函数f(x)满足下列边界条件的三次样条插值函数：

(1) S′(0)=1,S′(3)=0；

(2) S″(0)=1,S″(3)=0.

解， ，i=1,2.

(1)边界条件为 =0，用式(15)求解简单。由式(14)计算得

〖JZ〗f［0,1］=f［1,2］=f［2,3］=0， =0

代入式(15)得方程组

解得



利用公式

S(x)= +



i=0,1,2

并注意到边界条件 =0，求得三次样条函数如下：

s(x)= 

(2)边界条件为 ，用式(11)计算简单。由

(i=1,2)，

得

=6f[0,1,2]=6/(1+2)[(0-0)/0-(0-0)/1]=0

=6f[1,2,3]=6/(1+1)[(0-0)/1-(0-0)/0]=0

代入式(11)得方程组

解得

S(x)= +



i=0,1,2

并注意到 求得三次样条函数如下：

s(x)=