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Stata: 空间计量模型溢出效应的动态呈现

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Stata: 空间计量模型溢出效应的动态呈现 原文：Howtocreateanimatedgraphicstoillustratespatialspillovereffects中文版PPT在线浏览6March2018作者：DiLiu,SeniorEconometrician Stata连享会精品专题||精彩推文这篇文章展示了如何创建动画图形，以展示空间自回归（SAR）模型生…

连享会-空间计量现场班 (2019年6月27-30日，西安)

 

 

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这篇文章展示了如何创建动画图形，以展示空间自回归（SAR）模型生成的空间溢出效应。阅读本文后，您可以创建如下的动态图形。

连享会-德州犯罪率-空间溢出效应

后文包括三个部分：首先，介绍如何估计 SAR 模型的参数；其次，解释 SAR 模型为什么可以产生空间溢出效应；最后，展示如何创建一个动态图形来说明空间溢出效应。

SAR 模型

我想分析一下德克萨斯州各县的凶杀率与失业率的关系。我猜想一个县的凶杀率会对邻近县的凶杀率造成影响。

我想回答两个问题：

  1. 如何构建这样一个模型，在这个模型中明确的允许一个县的凶杀率依赖于邻近县的凶杀率。
  2. 根据这个模型，如果“达拉斯”（德克萨斯州的一个城市）的失业率上升到 10％，那么与达拉斯县邻近的县的凶杀率将如何变化呢？

建立SAR模型

首先，考虑标准线性模型，即某一个县 i i i 的凶杀率 ( h r a t e i ) ({\bf{hrate}}_{i}) (hratei​)是该县失业率 ( u n e m p l o y m e n t i ) ({\bf unemployment}_{i}) (unemploymenti​)线性函数

h r a t e i = β 0 + β 1 u n e m p l o y m e n t i + ϵ i {\bf hrate}_i = \beta_0 + \beta_1 {\bf unemployment}_{i} + \epsilon_i hratei​=β0​+β1​unemploymenti​+ϵi​

SAR 模型构建了某一个县 i i i 的凶杀率 ( h r a t e i ) ({\bf hrate}_i) (hratei​) 依赖于其邻近县的凶杀率。此时，需要一些新的符号来定义 SAR 模型。具体的，如果区域 j j j 和区域 i i i 相邻，则设 W i , j W_{i,j} Wi,j​ 为正数，如果两者不相邻，则 W i , j W_{i,j} Wi,j​ 为 0 。由于区域 i i i 不可能和自己相邻，所以当 i = j i = j i=j 时， W i , j W_{i,j} Wi,j​ 也为 0。

有了这个符号，构建某一个县 i i i 的凶杀率依赖于其邻近县凶杀率的 SAR 模型可以写成

h r a t e i = γ 1 ∑ j = 1 N W i , j h r a t e j + β 1 u n e m p l o y m e n t i + β 0 + ϵ i {\bf hrate}_i = \gamma_1\sum_{j=1}^N W_{i,j} {\bf hrate}_{j} + \beta_1 {\bf unemployment}_{i} + \beta_0 + \epsilon_i hratei​=γ1​j=1∑N​Wi,j​hratej​+β1​unemploymenti​+β0​+ϵi​

其中， ( W i , j ) (W_{i,j}) (Wi,j​) 定义了第 i i i 个县和第 j j j 个县的邻近程度。 ∑ j = 1 N W i , j h r a t e j \sum_{j=1}^N W_{i,j} {\bf hrate}_{j} ∑j=1N​Wi,j​hratej​ 是县 i i i 的邻近县的凶杀率的加权总和，它表示邻近县的凶杀率对县 i i i 凶杀率的影响。

将每个县 i i i 的邻近县的信息按 ( W i , j ) (W_{i,j}) (Wi,j​) 叠加得到一个矩阵 W {\bf W} W，矩阵 W {\bf W} W记录了每个县 i i i的邻近县的信息，矩阵 W {\bf W} W称为空间加权矩阵。

我们所使用的空间加权矩阵具有特殊的结构;每个元素要么是值 c c c ，要么是 0，其中 c > 0 c > 0 c>0。这种空间加权矩阵称为 归一化邻近矩阵。

在 Stata 中，我们使用 spmatrix 命令来创建空间加权矩阵，并使用 spregress 命令来拟合截面 SAR 模型。

首先，我从 Stata 网站下载美国各县谋杀率的数据集，并创建一个仅保留德克萨斯州各县数据的子样本。

. /* Get data for Texas counties' homicide rate */
. copy http://www.stata-press.com/data/r15/homicide1990.dta ., replace

. use homicide1990
(S.Messner et al.(2000), U.S southern county homicide rates in 1990)

. keep if sname == "Texas"
(1,158 observations deleted)

. save texas, replace
file texas.dta saved

直观地，指定所有地域的地图边界的文件被称为shape文件。我们需要从 Stata 网站下载与数据集texas.dta 相匹配的shape数据集 homicide1990_shp.dta，这个数据集记载了德克萨斯州所有县的地图边界信息。然后，我们使用spset命令，将数据集 texas.dta 与 shape 数据集 homicide1990_shp.dta 相关联，即将其设定为空间数据。

. /* Get data for Texas counties' homicide rate */
. copy http://www.stata-press.com/data/r15/homicide1990_shp.dta, replace

. spset
  Sp dataset texas.dta
                data:  cross sectional
     spatial-unit id:  _ID
         coordinates:  _CX, _CY (planar)
    linked shapefile:  homicide1990_shp.dta

然后使用 spmatrix 命令创建一个标准化的空间权重矩阵。

. /* Create a spatial contiguity matrix */
. spmatrix create contiguity W

根据上述数据和空间权重矩阵，可以估计模型参数。

. /* Estimate SAR model parameters */
. spregress hrate unemployment, dvarlag(W) gs2sls
  (254 observations)
  (254 observations (places) used)
  (weighting matrix defines 254 places)

Spatial autoregressive model                    Number of obs     =        254
GS2SLS estimates                                Wald chi2(2)      =      14.23
                                                Prob > chi2       =     0.0008
                                                Pseudo R2         =     0.0424

------------------------------------------------------------------------------
       hrate |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
hrate        |
unemployment |   .4584241    .152503     3.01   0.003     .1595237    .7573245
       _cons |   2.720913   1.653105     1.65   0.100    -.5191143    5.960939
-------------+----------------------------------------------------------------
W            |
       hrate |   .3414964   .1914865     1.78   0.075    -.0338103    .7168031
------------------------------------------------------------------------------
Wald test of spatial terms:          chi2(1) = 3.18       Prob > chi2 = 0.0745

空间溢出

现在我们准备解决第二个问题，利用上文提到的 spregress 命令估计的结果计算空间溢出效应，具体可以分三步进行：

  1. 利用原始数据预测谋杀率。
  2. 将达拉斯（“Dallas”）的失业率改为 10％ 并再次预测谋杀率。
  3. 计算两次预测之间的差异并绘图。
. preserve /* save data temporarily */

. /* Step 1: predict homicide rate using original data */
. predict y0
(option rform assumed; reduced-form mean)

. /* Step 2: change Dallas unemployment rate to 10%, and predict again*/
. replace unemployment = 10 if cname == "Dallas"
(1 real change made)
. predict y1
(option rform assumed; reduced-form mean)

. /* Step 3: Compute the prediction difference and map it*/
. generate double y_diff = y1 - y0
. grmap y_diff, title("Global spillover")
. restore /* return to original data */

image

上面的图表显示，达拉斯失业率的变化，不仅影响了达拉斯本地区的谋杀率，也影响了与达拉斯相邻的地区的谋杀率。也就是说，达拉斯的变化波及到附近的县，这种影响被称为溢出效应。

SAR 模型与空间溢出

在本节中，我将说明为什么SAR模型会产生溢出效应。在此过程中，我提供了一个用于创建动画图形的效果公式。
SAR 模型的矩阵形式是

y = λ W y + X β + ϵ {\bf y} = \lambda {\bf W} {\bf y} + {\bf X}\beta + \epsilon y=λWy+Xβ+ϵ

求解 y {\bf y} y的值

y = ( I – λ W ) − 1 X β + ϵ {\bf y} = ({\bf I} – \lambda {\bf W})^{-1} {\bf X}\beta + \epsilon y=(I–λW)−1Xβ+ϵ

给定 X {\bf X} X的值下 y {\bf y} y的平均值，被称为 y {\bf y} y在 X {\bf X} X的条件下的期望。因为 ϵ \epsilon ϵ独立于 X {\bf X} X， y {\bf y} y在 X {\bf X} X下的条件期望是

E ( y ∣ X ) = ( I – λ W ) − 1 X β E({\bf y}|{\bf X}) = ({\bf I} – \lambda {\bf W})^{-1} {\bf X}\beta E(y∣X)=(I–λW)−1Xβ

注意，由于 y {\bf y} y是一个向量，这个条件期望公式指定了德克萨斯州每个县的平均值。

我们使用这个等式来定义，当 X {\bf X} X 从一组值变化到另一组值后， y {\bf y} y 的变化效果。具体而言， X 0 {\bf X_0} X0​ 为来自原始观察数据中的协变量值；将 X 0 {\bf X_0} X0​ 中达拉斯的失业率修改为 10％，其余数据均保持不变，即为 X 1 {\bf X_1} X1​ 。通过这种表示，我们计算从 X 0 {\bf X_0} X0​ 到 X 1 {\bf X_1} X1​ 的改变所引起的德克萨斯州每个县的平均谋杀率的变化。

E ( y ∣ X 1 ) − E ( y ∣ X 0 ) = ( I − λ W ) − 1 X 1 β − ( I − λ W ) − 1 X 0 β = ( I − λ W ) − 1 Δ X β ( 1 ) \begin{array}{l}{E\left(\mathbf{y} | \mathbf{X}_{1}\right)-E\left(\mathbf{y} | \mathbf{X}_{0}\right)} \\ {=(\mathbf{I}-\lambda \mathbf{W})^{-1} \mathbf{X}_{1} \beta-(\mathbf{I}-\lambda \mathbf{W})^{-1} \mathbf{X}_{0} \beta} \\ {=(\mathbf{I}-\lambda \mathbf{W})^{-1} \Delta \mathbf{X} \beta}\end{array} \quad{(1)} E(y∣X1​)−E(y∣X0​)=(I−λW)−1X1​β−(I−λW)−1X0​β=(I−λW)−1ΔXβ​(1)

其中， Δ X = X 1 – X 0 \Delta {\bf X}= {\bf X_1} – {\bf X_0} ΔX=X1​–X0​。

接下来，我们以 SAR 模型为基础，构造用于产生动图的表达式。 SAR 模型之所以被广泛使用，正是因为它们满足稳定条件。 这种稳定条件表明逆矩阵 ( I – λ W ) − 1 ({\bf I} – \lambda {\bf W})^{-1} (I–λW)−1 可以写成指数大小逐渐减小的各项之和。 这个条件即为：

( I – λ W ) − 1 = ( I + λ W + λ 2 W 2 + λ 3 W 3 + … ) ( 2 ) ({\bf I} – \lambda {\bf W})^{-1} = ({\bf I} + \lambda {\bf W} + \lambda^2 {\bf W}^2 + \lambda^3 {\bf W}^3 + \ldots) \quad{(2)} (I–λW)−1=(I+λW+λ2W2+λ3W3+…)(2)

将公式 (2) 代入公式 (1)，得到

E ( y ∣ X 1 ) − E ( y ∣ X 0 ) = ( I − λ W ) − 1 Δ X β = ( I + λ W + λ 2 W 2 + λ 3 W 3 + … ) Δ X β = Δ X β + λ W Δ X β + λ 2 W 2 Δ X β + λ 3 W 3 Δ X β + …   ( 3 ) \begin{array}{l}{E\left(\mathbf{y} | \mathbf{X}_{1}\right)-E\left(\mathbf{y} | \mathbf{X}_{0}\right)} \\ {=(\mathbf{I}-\lambda \mathbf{W})^{-1} \Delta \mathbf{X} \beta} \\ {=\left(\mathbf{I}+\lambda \mathbf{W}+\lambda^{2} \mathbf{W}^{2}+\lambda^{3} \mathbf{W}^{3}+\ldots\right) \Delta \mathbf{X} \beta} \\ {=\Delta \mathbf{X} \beta+\lambda \mathbf{W} \Delta \mathbf{X} \beta+\lambda^{2} \mathbf{W}^{2} \Delta \mathbf{X} \beta+\lambda^{3} \mathbf{W}^{3} \Delta \mathbf{X} \beta+\ldots}\end{array} \ (3) E(y∣X1​)−E(y∣X0​)=(I−λW)−1ΔXβ=(I+λW+λ2W2+λ3W3+…)ΔXβ=ΔXβ+λWΔXβ+λ2W2ΔXβ+λ3W3ΔXβ+…​ (3)

这即为生成动态图形效果的表达式。

公式 (3) 中的每一项都很直观，这在我们所展示的案例中很容易解释：

  • 第一项 ( Δ X β \Delta {\bf X}\beta ΔXβ) 是初始效应变化，它只影响达拉斯地区的凶杀率。
  • 第二项 ( λ W Δ X β \lambda {\bf W} \Delta {\bf X}\beta λWΔXβ) 是达拉斯地区凶杀率的变化对其邻居的影响。
  • 第三项 ( λ 2 W 2 Δ X β \lambda^2 {\bf W}^2 \Delta {\bf X}\beta λ2W2ΔXβ) 是达拉斯地区凶杀率的变化对达拉斯邻居的邻居的影响。依次类推，可以得到其他变量的含义。

为溢出效应创建动态图形

我现在描述如何生成动态图。 每个图使用公式 (3) 中每一项子集绘制变化图。 第一个图仅显示第一个项计算的变化。 第二个图仅显示从第一项到第二项计算的变化。 第三个图仅显示从第一项到第三项计算的变化，以此类推。

代码的前四个步骤执行以下操作。

  1. 计算并绘制 Δ X β \Delta {\bf X}\beta ΔXβ。
  2. 计算并绘制 Δ X β + λ W Δ X β \Delta {\bf X} \beta + \lambda {\bf W} \Delta {\bf X}\beta ΔXβ+λWΔXβ。
  3. 计算并绘制 Δ X β + λ W Δ X β + λ 2 W 2 Δ X β \Delta {\bf X} \beta + \lambda {\bf W} \Delta {\bf X}\beta + \lambda^2 {\bf W}^2 \Delta {\bf X}\beta ΔXβ+λWΔXβ+λ2W2ΔXβ。
  4. 计算并绘制 Δ X β + λ W Δ X β + λ 2 W 2 Δ X β + λ 3 W 3 Δ X β \Delta {\bf X} \beta + \lambda {\bf W} \Delta {\bf X}\beta + \lambda^2 {\bf W}^2 \Delta {\bf X}\beta + \lambda^3 {\bf W}^3 \Delta {\bf X} \beta ΔXβ+λWΔXβ+λ2W2ΔXβ+λ3W3ΔXβ。

步骤 5 到 20 执行类似的操作。最后，结合步骤 1 到步骤 20 中的图形，创建一个动态图形。
下面的代码展示了此过程：

  1 /* get estimate of spatial lag parameter lambda */
  2 local lambda = _b[W:hrate]
  3
  4 /* xb based on original data */
  5 predict xb0, xb
  6
  7 /* xb based on modified data */
  8 replace unemployment = 10 if cname == "Dallas"
  9 predict xb1, xb
 10
 11 /* compute the outcome change in the first step */
 12 generate dy = xb1 - xb0
 13 format dy %9.2f
 14
 15 /* Initialize Wy, lamWy, */
 16 generate Wy = dy
 17 generate lamWy = dy
 18
 19 /* map the outcome change in step 1 */
 20 grmap dy
 21 graph export dy_0.png, replace
 22 local input dy_0.png
 23
 24 /* compute the outcome change from step 2 to 11 */
 25 forvalues p=1/20 {
 26         spgenerate tmp = W*Wy
 27         replace lamWy = `lambda'^`p'*tmp
 28         replace Wy = tmp
 29         replace dy = dy + lamWy
 30         grmap dy
 31         graph export dy_`p'.png, replace
 32         local input `input' dy_`p'.png
 33         drop tmp
 34 }
 35
 36 /* convert graphs into a animated graph */
 37 shell convert -delay 150 -loop 0 `input' glsp.gif
 38
 39 /* delete the generated pgn file */
 40 shell rm -fR *.png

此代码使用由 spregress 命令估计过程中所产生的 ereturn 类的返回值及其相应的 predict命令。

  • 第 2 行将 λ \lambda λ 的估计值放在局部暂元 lambda 中。
  • 第 5, 7, 8 和 9 分别计算 X 0 {\bf X_0} X0​和 X 1 {\bf X_1} X1​ 下的 X β {\bf X}\beta Xβ ，并将其存储在 xb0 和 xb1 中。
  • 第 12 行计算 ( Δ X β \Delta {\bf X}\beta ΔXβ) 并将其存储在 dy 中。
  • 第 16 行和第 17 行存储当 p = 0 p = 0 p=0 时 W p y {\bf W}^{p} {\bf y} Wpy 和 λ p W p y \lambda^{p} {\bf W}^{p} {\bf y} λpWpy 的初始值。
  • 第 20-22 行生成动态图中的第一个图。当全部代码完成时，局部暂元 input 将包含用于创建动态图形中的每一张图形。
  • 第 25-34 行计算并绘制剩余项目的图形。第 26 行使用 spgenerate 命令计算 W p y {\bf W}^{p} {\bf y} Wpy。
  • 第 27-33 行执行与 dy 类似的操作。
  • 在第 37 行，我使用 Linux 工具 “convert” 来组合图形以生成动态图形。在Windows上，我可以使用 FFmpeg 和 Camtasia 等软件。有关详细信息，请参见Chuck Huber的How to create animated graphics using Stata
  • 第 40 行删除所有不必要的 .png 文件。

下面是由此代码创建的动态图形。
image

小结

在这篇文章中，利用德克萨斯州案例，我讨论SAR模型如何解释溢出效应。我还介绍了如何将溢出效应计算为累加和，并利用累积的总和创建了一个动态图形，说明了这些溢出效应是如何在德克萨斯州的各个县蔓延的。

 

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今天的文章Stata: 空间计量模型溢出效应的动态呈现分享到此就结束了，感谢您的阅读。

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