【滑模控制】减小抖振模糊控制

普通滑模控制

经典防抖滑模

隶属函数 (隶属度 - fuzzy 纵轴)

在Simulink中的fuzzy模块

利用S模糊，直接作为切换项（较准确）

利用ss'模糊，输出的积分作为K

利用ss'模糊输出作为dK（参考文章的做法）

普通滑模控制

直接抄的【模糊滑模】基于模糊切换增益调节的滑模控制里面的被控模型：

$\left \{ \begin{aligned} \dot{x_1}=x_2 \\ \dot{x_2}=f(x)+g(x)u+d(t)\\ y=x_1 \\ \end{aligned} \right .$ $\left \{ \begin{aligned} f(x)=\cfrac{0.5sinx_1(1+0.5cosx_1)x_2^2-10sinx_1(1+cosx_1)}{0.25(2+cosx_1)^2}\\ g(x)=\cfrac{1}{0.25(2+cosx_1)^2} \\ d(x)=10cos(2t)cosx_1 \\ x_d(t)=\cfrac{\pi}{6}sin(t) \end{aligned} \right .$

干扰 $|d(x)|\leqslant 10$ 可以设 D=10 ，滑模面： $s=ce+\dot{e}$ 求导 $\dot{s}=c\dot{e}+\ddot{x_d}-f-gu-d$

将趋近率设计为指数趋近率，即 $\dot{s}=-Ksgn(s)-s$ ；

忽略扰动，将两个趋近率表达式联立可以解出： $u=\cfrac{1}{g(c\dot{e}+\ddot{x_d}-f+Ksgn(s)+s)}$

反代回趋近率得实际 $\dot{s}=-Ksgn(s)-s-d$

即能使 Lyapunov 函数 $V=\cfrac{s^2}{2}$ 求导 $\dot{V}=s\dot{s}=-ds-K|s|-s^2\leqslant D|s|-K|s|-s^2$

因此只需要参数 K>D 即可使 $\dot{V}<0$ ；对系统和控制器建模如图：

仿真结果如图：（三图分别为位置跟踪、速度跟踪与输入控制量）

控制量呈现明显抖振，为了减小抖振，采用一系列对符号函数的替代：

经典防抖滑模

双曲正切tanh函数代替

双曲正切tanh函数公式： $tanhx=\cfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ 图像：

用双曲正切tanh函数代替符号函数，如图：

控制效果如图：（三图分别为位置跟踪、速度跟踪与输入控制量）

连续函数代替

用连续函数 $\theta(s)=\cfrac{s}{|s|+\delta}$ 代替符号函数，如图：

饱和模块代替

用饱和模块代替符号函数，如图：

如果不加入增益模块，会导致线性化区域加宽，控制效果如图：

模糊滑模控制

fuzzy模糊机制

映射 (论域 - fuzzy 横轴)

对于输入或输出总要设置映射范围，即论域在fuzzy中论域常用整数离散点表示记作： x_i

如 x 的真实范围为[a,b]，设计论域为 [-6,6]，

则任意 x=X ，有 $X\rightarrow \cfrac{12(x-a)}{b-a}-6=\cfrac{12x-6(a+b)}{b-a}$ ；

隶属函数 (隶属度 - fuzzy 纵轴)

参考：【学习笔记】模糊控制算法_模糊控制csdn_记录无知岁月的博客-CSDN博客

完整计算过程：模糊控制——(1)基本原理_一抹烟霞的博客-CSDN博客

隶属函数规定了论域上每个整数点对应的隶属度

隶属度 $\mu_i$ 类似于曲线积分即曲线与x轴围成的面积

在一个论域 $x=\{-2,-1,0,1,2\}$ 的fuzzy中，通过一个输入，经过隶属函数转换之后的值：

首先经过映射转换：X→x 如果要判断其在NB这个隶属度为 $NB=\{1,0.2,0.1,0,0,0\}$ 隶属函数上的值：可以将每个隶属函数的模糊关系用矩阵R表示：如隶属函数NB对应的模糊关系为 $R_{NB}$

【例子】如果输入和输出的NB函数对应的隶属度用矩阵表示分别是A和B，则可以计算出：

$R_{NB}=A^T\circ B$ 常见形式 $A=[0.8 0.4],B=[\frac{0.1 0.6 1}{0.1 0.5 0.5}]$ ，实际是求较小值 $A_i\wedge B_i$

这里可以解出 $R_{NB}=[\frac{0.1 0.6 0.8}{0.1 0.4 0.4}]$ ，具体计算方法： $R(u,v)=A(u)\wedge B(v)$

(如果此时论域变化，NB变为 A^*=[0.7 0.1] 可以得到输出为 $B^*=A\circ R=[0.1 0.6 0.7]$ )

而求出所有隶属函数对应的 R_i 之后，对所有模糊关系矩阵取并集，得到整体模糊关系矩阵 $R_{whole}$

那么给定一个输入，如果属于NB，则有 $e=A_{NB}$ 而 $u=A_{NB}\circ R_{whole}$

得到的矩阵可以记作U=[...]，对于论域 $y=\{-2,-1,0,1,2\}$ 的输出，

真正得到的输出值的映射为： $\cfrac{u_1}{-2}+\cfrac{u_2}{-1}+\cfrac{u_3}{0}+\cfrac{u_4}{1}+\cfrac{u_5}{2}$ 但注意这只是取了整数点进行计算

在Simulink中的fuzzy模块

发现如果输入超出了论域，会导致输出很怪

如果输入的值超出了设定的输入range，如输入为幅值为5的正弦波，而给定论域为[-3，3] 在实际仿真时发现，在输入持续上升增长，超出3之后，超出多少，相当于从3的峰值开始下降(反变化)，等进入到给定的range范围内之后，又按照正常情况变化：可以画一个图：

而在fuzzy中，输入就相当于修改之后的图像，相应的输出为右图黄线所示：通过右图可以看出，变化已经很sgn了。但注意，这个不完全正确，如果经过处理之后的图像反向之后仍然可以超过range，要反向，在fuzzy中默认输出0。

因此在利用fuzzy时需要注意设定的输入范围一定与设定保持一致：即需要进行一次映射。

重点是使用简单的模糊机制，对趋近率 $\dot{s}=-Ksgn(s)-s$ 中的参数 K 进行修正：

期望能在远离滑模面时增大 K ，而在到达滑模面时减小 K 。

这里举例利用 $s\dot{s}$ 进行判断：当 $s\dot{s}> 0$ ，增大；当 $s\dot{s}< 0$ ，减小；这里利用 $\Delta K$ 作为模糊控制的输出，二者关系如图：

其实这里就已经能发现，类似于其他能够改善抖振现象的方法，由于模糊控制的输出与输入有一定的正相关性，但又具有一定的限度，可以很好的减弱抖振。

具体可以参考：【滑模控制】减弱抖振或噪声趋近率的选择_摸鱼摸鱼疯狂摸鱼的博客-CSDN博客

利用s模糊，直接作为切换项（较准确）

将s输入到模糊控制器中，输出的K直接就相当于经典滑模中的切换项Ksgn(s)，利用滑模可以在不使用阶跃切换的条件下，不关注s值的数值，只关注s的符号，直接拿到在正负间类似于三角函数连续变换的K值：

这里使用的fuzzy是输入range=输出range=[-15 15]，当用幅值为15的三角函数作输入测试时，得到的输出在11和-11之间波动，且在接近于0时跟随输入较好，如左图。因此只需要将输入S处理为范围15，可以通过原始的连续函数拿到s的范围大致是-0.05-0.015，因此给一个100的增益，时输入的s映射后落在输入范围内。仿真：