无穷大和无穷小

文章目录

一、无穷小和无穷大的定义
二、无穷小和无穷大的关系
三、无穷小与函数极限的关系
四、无穷小的性质
五、无穷小的比较
六、常见的八个等价无穷小
七、利用等价无穷小求极限
参考
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一、无穷小和无穷大的定义

定义 1： 若
$\lim_{x \to x_0} f(x) = 0,$
则称 $f (x)$ 是 $x_0$ 时的无穷小量，简称无穷小（无穷小不是一个数）。如 $\frac{1}{x}$ 是 $\to \infty$ 时的无穷小， $\frac{2}{n}$ 是 $\to \infty$ 时的无穷小。

定义 2： 设 $f (x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域有定义，若对任意的正数 $M$ （无论 $M$ 是怎样的大），总是存在 $\sigma > 0$ ，当 $\left| x -x_0 \right| < \sigma$ 时，有 $\left| f(x) \right| > M$ ，则称 $f (x)$ 是 $\to x_0$ 时的无穷大量，简称无穷大。记作
$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty.$

二、无穷小和无穷大的关系

若 $f (x)$ 是 $\to x_0$ 时无穷大量，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小。
若 $f (x)$ 是 $\to x_0$ 时无穷小量，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大。

三、无穷小与函数极限的关系

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \quad \Leftrightarrow \quad f(x) = A + \alpha(x),$
其中 $A$ 是常数； $\alpha(x)$ 是 $\to x_0$ 时无穷小量。

四、无穷小的性质

有限个无穷小的和仍是无穷小，有限个无穷小的积仍是无穷小。
有界函数乘以无穷小仍为无穷小，常数乘以无穷小仍是无穷小。
如
$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \sin x = 0.$

五、无穷小的比较

定义 3： 设 $f (x)$ 、 $g (x)$ 均为 $\to x_0$ 时的去穷小，则：

若
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0,$
则称 $f (x)$ 是比 $g (x)$ 高阶的无穷小，记作： $o\left( g(x) \right), (x \to x_0)$ ；
若
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty,$
则称 $f (x)$ 是比 $g (x)$ 低阶的无穷小。
若
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = c, \quad (c \neq 0)$
其中， $c$ 为常数，则称 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是同阶无穷小。
特殊地，当 $c = 1$ 时，称 $f (x)$ 和 $g (x)$ 等价无穷小。记作： $\sim g(x), \; (x \to x_0)$ 。
若
$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{\left[g(x)\right]^k} = c, \quad (c \neq 0, k > 0)$
其中， $c$ 为常数，则称 $f (x)$ 是关于 $g (x)$ 的 $k$ 阶无穷小。

定理 1：

$\sim g(x) \; (x \to x_0) \quad \Leftrightarrow \quad f(x) = g(x) + o(g(x)) \; (x \to x_0).$
如： $\sin x \sim x \; (x \to 0)$ ，则 $\sin x = x + o(x) \; (x \to 0)$ 。
$\sim g(x) \; (x \to x_0)$ 且 $\sim h(x) \; (x \to x_0)$ ，则 $\sim h(x) \; (x \to x_0)$ 。

六、常见的八个等价无穷小

等价无穷小
$\sin x \sim x \; (x \to 0)$
$\cos x \sim \frac{1}{2} x^2 \; (x \to 0)$
$\tan x \; \sim x \; (x \to 0)$
$\arcsin x \sim x \; (x \to 0)$
$\arctan x \sim x \; (x \to 0)$
$\ln (1+x) \sim x \; (x \to 0)$
$e^x - 1 \sim x \; (x \to 0)$
$(1+x)^u - 1 \sim u x \; (x \to 0)$
$a^x - 1 \sim x \ln a \; (x \to 0)$

七、利用等价无穷小求极限

定理 2： 若 $\alpha(x) \sim \alpha'(x) \; (x \to x_0)$ ， $\beta(x) \sim \beta'(x) \; (x \to x_0)$ ，且
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) \alpha'(x)}{g(x)\beta'(x)}$
存在，则
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)\alpha(x)}{g(x)\beta(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) \alpha'(x)}{g(x)\beta'(x)}.$
注意：定理 2 中的替换必须是因子函数才能使用。

推论： 若 $\lim_{x \to x_0}f(x) = 0$ ， $\lim_{x \to x_0}g(x) = \infty$ ，则
$\begin{aligned} \lim_{x \to x_0} \left[1+f(x) \right]^{g(x)} &= \lim_{x \to x_0} e^{g(x) \ln\left[1+f(x) \right]} \\ &= e^{\lim_{x \to x_0}g(x) \ln \left[1+f(x) \right]} \\ &= e^{\lim_{x \to x_0} \left[ g(x) f(x) \right]} \end{aligned}$

即
$\lim_{x \to x_0} \left[1+f(x) \right]^{g(x)} = e^{\lim_{x \to x_0} \left[ g(x) f(x) \right]}$

（该结论适用于求 $1^{\infty}$ 类型的极限）

参考

高等数学第六版上册. 统计大学数学系. 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-020549-7
课堂笔记

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