第一章函数与极限——第二节 数列的极限
一、数列极限的定义
1.引言
简单归纳总结引言1
这段内容介绍了古代中国数学家刘徽使用的割圆术来计算圆面积的方法。
1.割圆术通过在圆内inscribing正多边形来逼近圆的面积。
2.从6边形开始,每次边数加倍:6, 12, 24, ..., 6×2^(n-1)边。
3.随着n增大,多边形面积An越来越接近圆面积。
4.当n趋于无穷大时,An的极限值就是圆的精确面积。
简单归纳总结引言2
每个自然数n对应一个实数x_n是什么意思
2.引出数列极限的基本概念
总结归纳
这个例子想说明
3.数列的定义
总结归纳
4.数列的几何意义
用一个具体的例子来说明n, N, ε, a
假设有一个数列 an = 1 + 1/n，其极限是1。
ε是假设的，那N是怎么计算出来的？
所以说，在数列的定义中，ε是任意取的，而N是根据ε计算出来的
例1
例2
例3
例1、例2、例3证明数列极限的方法——ε-N定义法（严格定义法）
步骤
任取一个实数ε，极限值小于ε，然后在证明中，我们常常需要找到这个N值，以证明数列从某一项开始会始终在极限值附近波动，且波动范围不超过给定的ε。
特点
1.对于给定的任意ε > 0，证明存在N，使得当n > N时，|x_n - a| < ε
2.适用于直接证明已知极限值的情况
二、收敛数列的性质
定理1(极限的唯一性)
定理1证明
例4
数列有界性的概念
例如
定理2(收敛数列的有界性)
定理2的证明
如果数列收敛，那么数列的值一定在某个区间并且接近一个值，自然数列就有界。
数列无界一定发散，数列有界不一定收敛
例如数列xn=(-1)^n+1,(n=1,2...)，有界但不收敛。
定理3(收敛数列的保号性)
很好理解，当n>N时，数列的值都在规定的极限的领域中，如果a>0(或<0)，自然数列xn就>0(或<0)。
定理3证明
定理3的推论
定理4
习题1-2
1.
2.
3.
4.
5.
数列极限的定义法(ε-N定义法)证明数列极限
在【一、数列极限的定义部分末尾也描述了ε-N定义法】，这里再简单讲解一下：
1.适用于直接证明已知极限值的情况。
2.方法基于数列极限的定义：对于给定的任意ε > 0，证明存在N，使得当n > N时，|x_n - a| < ε。根据此定义，我们用题目给出的极限值构造出|x_n - a| < ε，然后化简并计算出n>一个含ε的式子，取N=这个含ε的式子即可。
6.
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