1. 首页首页
  2. 编程基础编程基础

高数——导数、偏导的存在连续

编程基础 • • 阅读 6

高数——导数、偏导的存在连续其他说法 f x 在 x x0 处 n 阶可导 f x 的 n 阶导在 x x0 处有定义 f x 在 x0 邻域内 k 阶可导 k 在区间上 n 阶连续可导

一函数

点可导＞点连续

若f(x)在x=x0处n阶导数存在，则有

其他说法：f(x)在x=x0处n阶可导；f(x)的n阶导在x=x0处有定义；

  • f(x)在x0邻域内，k阶可导( k<= n-1)； （高阶点可导 可以推 低阶邻域可导）
  • f(x)的n-1阶导，在x=x0处，可导、连续。（高阶点可导 可以推 低阶 点可导点连续）

若f(x)在x=x0处二阶导数存在，则有

函数 范围 可导 连续 有定义
f′′(x) x0 x √ √
x0邻域 x x x
f′(x) x0 √ √ √
x0邻域 x x √
f(x) x0 √ √ √
x0邻域 √ √ √

若f(x)在x=x0处n阶导数连续，则有

其他说法：f(x)在x=x0处有n阶连续导数；f(x)的n阶导在x=x0处有定义；

  • f(x)在x0邻域内，n阶可导；
  • f(x)的n阶导，在x=x0处，可导、连续。

若f(x)在x=x0处二阶导数连续，则有

函数 范围 可导 连续 有定义
f′′(x) x0 x √ √
x0邻域 x x √
f′(x) x0 √ √ √
x0邻域 √ √
f(x) x0 √ √ √
x0邻域 √ √ √

反例狂魔

狄利克雷函数

性质：处处不连续
在这里插入图片描述

变型：x D(x)

性质：只有x=0连续，但不可导，其他点处处不连续不可导。
结论：点连续，邻域不一定连续。
在这里插入图片描述

变型：x² D(x)

性质：x=0处连续，可导。其他所有点处处不连续不可导(包括邻域)。
结论：点可导，该点连续。邻域不一定连续，不一定可导。
在这里插入图片描述

魏尔斯特拉斯函数（扎手函数）

性质：处处连续，但处处不可导
结论：连续不一定可导
在这里插入图片描述

x2sin1/x

性质：f(x)处处连续，处处可导，但导函数在x=0处不连续（极限震荡不存在）。

而且显然，f(x)可导，是f(x)的事，跟它的导函数没有关系。导函数要想连续得看二阶导。

在这里插入图片描述

二函数

今天的文章 高数——导数、偏导的存在连续分享到此就结束了，感谢您的阅读。
编程小号
上一篇 2024-12-14 08:30
下一篇 2024-12-14 08:27

相关推荐

版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 举报，一经查实，本站将立刻删除。
如需转载请保留出处：https://bianchenghao.cn/bian-cheng-ji-chu/86357.html