向量的内积，外积
向量
高中时的向量长这样： a ⃗ = ( 2 , − 3 ) 、 n ⃗ = ( 2 , − 3 , − 1 ) \vec{a}=(2,-3)、\vec{n}=(2,-3,-1) a=(2,−3)、n=(2,−3,−1)
在线性代数中，一个三维向量可以用 3 × 1 3\times 1 3×1矩阵表示，如： V = [ 2 − 3 − 1 ] 或 V T = [ 2 − 3 − 1 ] V=\left[ \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ -1 \end{matrix} \right] 或 V^T=\left[ \begin{matrix} 2 \ -3 \ -1 \end{matrix} \right] V=⎣⎡2−3−1⎦⎤或VT=[2 −3 −1]
所以对于一般的n向量可以用 n × 1 n\times 1 n×1矩阵表示，如： V = [ x 1 x 2 x 3 ⋯ x n ] 或 V T = [ x 1 x 2 x 3 ⋯ x 5 ] V=\left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \cdots \\ x_n \end{matrix} \right] 或 V^T=\left[ \begin{matrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ \cdots \ x_5 \end{matrix} \right] V=⎣⎢⎢⎢⎢⎡x1x2x3⋯xn⎦⎥⎥⎥⎥⎤或VT=[x1 x2 x3 ⋯ x5]，向量中的每一个素 x n x_n xn，都称作向量的一个分量。
向量的模
向量的模即向量的长度，如果A是n维向量，则A的模标记为：
A = [ a 1 a 2 a 3 ⋯ a n ] , ∣ A ∣ = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ⋯ + a n 2 = A T A A=\left[ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \cdots \\ a_n \end{matrix} \right] \ ,\uad |A|=\sqrt{a^2_1+a^2_2+a^2_3+\cdots +a^2_n}=A^TA A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a1a2a3⋯an⎦⎥⎥⎥⎥⎤ ,∣A∣=a12+a22+a32+⋯+an2=ATA
向量的计算
向量加减
向量 a ⃗ = [ a 1 a 2 a 3 ⋯ a n ] \vec{a}=\left[ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \cdots \\ a_n \end{matrix} \right] \uad a=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a1a2a3⋯an⎦⎥⎥⎥⎥⎤ 向量 b ⃗ = [ b 1 b 2 b 3 ⋯ b n ] \vec{b}=\left[ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \cdots \\ b_n \end{matrix} \right] b=⎣⎢⎢⎢⎢⎡b1b2b3⋯bn⎦⎥⎥⎥⎥⎤
a ⃗ + b ⃗ = [ a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 ⋯ a n + b n ] a ⃗ − b ⃗ = [ a 1 − b 1 a 2 − b 2 a 3 − b 3 ⋯ a n − b n ] \vec{a}+\vec{b}=\left[ \begin{matrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \\ \cdots \\ a_n+b_n \end{matrix} \right] \uad \vec{a}-\vec{b}=\left[ \begin{matrix} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3 \\ \cdots \\ a_n-b_n \end{matrix} \right] a+b=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a1+b1a2+b2a3+b3⋯an+bn⎦⎥⎥⎥⎥⎤a−b=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a1−b1a2−b2a3−b3⋯an−bn⎦⎥⎥⎥⎥⎤
向量点乘（内积、点积、数量积）
向量 a ⃗ \vec{a} a和向量 b ⃗ \vec{b} b： a ⃗ = A = [ a 1 a 2 a 3 ⋯ a n ] b ⃗ = B = [ b 1 b 2 b 3 ⋯ b n ] \uad \vec{a}=A=\left[ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \cdots \\ a_n \end{matrix} \right] \quad \vec{b}=B=\left[ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \cdots \\ b_n \end{matrix} \right] a=A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a1a2a3⋯an⎦⎥⎥⎥⎥⎤b=B=⎣⎢⎢⎢⎢⎡b1b2b3⋯bn⎦⎥⎥⎥⎥⎤
a和b的点积公式为： a ⃗ ⋅ b ⃗ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + a n b n = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos θ \vec{a} \cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots +a_nb_n=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn=∣a∣∣b∣cosθ
另一种写法： a ⃗ ⋅ b ⃗ = A T B = B T A ∣ a ⃗ ∣ = A T A ∣ b ⃗ ∣ = B T B \vec{a} \cdot \vec{b}=A^TB=B^TA \uad |\vec{a}|=A^TA \uad |\vec{b}|=B^TB a⋅b=ATB=BTA∣a∣=ATA∣b∣=BTB
向量 a ⃗ \vec{a} a和向量 b ⃗ \vec{b} b的点积结果是一个数值
点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度
点乘的物理意义可看做：力F在位移x的方向上做的功（ W = F ⃗ ⋅ x ⃗ W=\vec{F} \cdot \vec{x} W=F⋅x）
向量叉乘（外积、向量积）
向量 a ⃗ = [ x 1 y 1 z 1 ] \vec{a}=\left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{matrix} \right] \uad a=⎣⎡x1y1z1⎦⎤ 向量 b ⃗ = [ x 2 y 2 z 2 ] \vec{b}=\left[ \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{matrix} \right] b=⎣⎡x2y2z2⎦⎤
a和b的叉乘公式为：
a ⃗ × b ⃗ = ∣ i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ∣ = ( y 1 z 2 − z 1 y 2 ) i + ( z 1 x 2 − x 1 z 2 ) j + ( x 1 y 2 − y 1 x 2 ) k \vec{a} \times \vec{b}=\left| \begin{matrix} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{matrix} \right| =(y_1z_2-z_1y_2)i+(z_1x_2-x_1z_2)j+(x_1y_2-y_1x_2)k a×b=∣∣∣∣∣∣ix1x2jy1y2kz1z2∣∣∣∣∣∣=(y1z2−z1y2)i+(z1x2−x1z2)j+(x1y2−y1x2)k
a ⃗ × b ⃗ = ∣ i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ∣ = i ∣ y 1 z 1 y 2 z 2 ∣ − j ∣ x 1 z 1 x 2 z 2 ∣ + k ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ \vec{a} \times \vec{b}= \left| \begin{matrix} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{matrix} \right| = i\left| \begin{matrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{matrix} \right|- j\left| \begin{matrix} x_1 & z_1 \\ x_2 & z_2 \end{matrix} \right|+ k\left| \begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{matrix} \right| a×b=∣∣∣∣∣∣ix1x2jy1y2kz1z2∣∣∣∣∣∣=i∣∣∣∣y1y2z1z2∣∣∣∣−j∣∣∣∣x1x2z1z2∣∣∣∣+k∣∣∣∣x1x2y1y2∣∣∣∣
a ⃗ × b ⃗ = ( y 1 z 2 − z 1 y 2 , z 1 x 2 − x 1 z 2 , x 1 y 2 − y 1 x 2 ) \vec{a} \times \vec{b}=(y_1z_2-z_1y_2 \ , \ z_1x_2-x_1z_2 \ , \ x_1y_2-y_1x_2) a×b=(y1z2−z1y2 , z1x2−x1z2 , x1y2−y1x2)
i , j , k i,j,k i,j,k是单位向量，分别是：x轴方向 i ⃗ = ( 1 , 0 , 0 ) \vec{i}=(1 , 0 , 0) \quad i=(1,0,0) y轴方向 j ⃗ = ( 0 , 1 , 0 ) \vec{j}=(0 , 1 , 0) \quad j=(0,1,0) z轴方向 k ⃗ = ( 0 , 0 , 1 ) \vec{k}=(0 , 0 , 1) k=(0,0,1)
计算方式就是把中间的式子当成一个 3 × 3 3\times 3 3×3的行列式，最后结果合并同类项
3 × 3 3\times 3 3×3的行列式计算： i y 1 z 2 + j z 1 x 2 + k x 1 y 2 − i z 1 y 2 − j x 1 z 2 − k y 1 x 2 iy_1z_2+jz_1x_2+kx_1y_2-iz_1y_2-jx_1z_2-ky_1x_2 iy1z2+jz1x2+kx1y2−iz1y2−jx1z2−ky1x2
看看另一种傻瓜式算法(虽然傻，但这是书上的推导过程)：
- 单位向量：x轴方向 i ⃗ = ( 1 , 0 , 0 ) \vec{i}=(1 , 0 , 0) \uad i=(1,0,0) y轴方向 j ⃗ = ( 0 , 1 , 0 ) \vec{j}=(0 , 1 , 0) \uad j=(0,1,0) z轴方向 k ⃗ = ( 0 , 0 , 1 ) \vec{k}=(0 , 0 , 1) k=(0,0,1)
- i ⃗ × i ⃗ = j ⃗ × j ⃗ = k ⃗ × k ⃗ = 0 \vec{i} \times \vec{i}=\vec{j} \times \vec{j}=\vec{k} \times \vec{k}=0 \uad i×i=j×j=k×k=0
- i ⃗ = j ⃗ × k ⃗ j ⃗ = k ⃗ × i ⃗ k ⃗ = i ⃗ × j ⃗ \vec{i}=\vec{j} \times \vec{k} \uad \vec{j}=\vec{k} \times \vec{i} \uad \vec{k}=\vec{i} \times \vec{j} i=j×kj=k×ik=i×j
- − i ⃗ = k ⃗ × j ⃗ − j ⃗ = i ⃗ × k ⃗ − k ⃗ = j ⃗ × i ⃗ -\vec{i}=\vec{k} \times \vec{j} \uad -\vec{j}=\vec{i} \times \vec{k} \uad -\vec{k}=\vec{j} \times \vec{i} −i=k×j−j=i×k−k=j×i
- a ⃗ = ( x 1 , y 1 , z 1 ) = x 1 i + y 1 j + z 1 k b ⃗ = ( x 2 , y 2 , z 2 ) = x 2 i + y 2 j + z 2 k \vec{a}=(x_1 , y_1 , z_1) = x_1i+y_1j+z_1k \uad \vec{b}=(x_2 , y_2 , z_2) = x_2i+y_2j+z_2k a=(x1,y1,z1)=x1i+y1j+z1kb=(x2,y2,z2)=x2i+y2j+z2k
- a ⃗ × b ⃗ = ( x 1 i + y 1 j + z 1 k ) × ( x 2 i + y 2 j + z 2 k ) = x 1 x 2 ( i × i ) + y 1 x 2 ( j × i ) + z 1 x 2 ( k × i ) + x 1 y 2 ( i × j ) + y 1 y 2 ( j × j ) + z 1 y 2 ( k × j ) + x 1 z 2 ( i × k ) + y 1 z 2 ( j × k ) + z 1 x 2 ( k × k ) = y 1 z 2 ( j × k ) + z 1 y 2 ( k × j ) + z 1 x 2 ( k × i ) + x 1 z 2 ( i × k ) + x 1 y 2 ( i × j ) + y 1 x 2 ( j × i ) = ( y 1 z 2 − z 1 y 2 ) i + ( z 1 x 2 − x 1 z 2 ) j + ( x 1 y 2 − y 1 x 2 ) k \begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} &=(x_1i+y_1j+z_1k) \times (x_2i+y_2j+z_2k) \\ & = x_1x_2(i \times i)+y_1x_2(j \times i)+z_1x_2(k \times i) \\ & \quad + x_1y_2(i \times j)+y_1y_2(j \times j)+z_1y_2(k \times j) \\ & \quad + x_1z_2(i \times k)+y_1z_2(j \times k)+z_1x_2(k \times k) \\ & = y_1z_2(j \times k)+ z_1y_2(k \times j)+z_1x_2(k \times i)+x_1z_2(i \times k)+x_1y_2(i \times j)+y_1x_2(j \times i) \\ & =(y_1z_2-z_1y_2)i+(z_1x_2-x_1z_2)j+(x_1y_2-y_1x_2)k \\ \end{aligned} a×b=(x1i+y1j+z1k)×(x2i+y2j+z2k)=x1x2(i×i)+y1x2(j×i)+z1x2(k×i)+x1y2(i×j)+y1y2(j×j)+z1y2(k×j)+x1z2(i×k)+y1z2(j×k)+z1x2(k×k)=y1z2(j×k)+z1y2(k×j)+z1x2(k×i)+x1z2(i×k)+x1y2(i×j)+y1x2(j×i)=(y1z2−z1y2)i+(z1x2−x1z2)j+(x1y2−y1x2)k
- a ⃗ × b ⃗ = ( y 1 z 2 − z 1 y 2 , z 1 x 2 − x 1 z 2 , x 1 y 2 − y 1 x 2 ) \vec{a} \times \vec{b}=(y_1z_2-z_1y_2 \ , \ z_1x_2-x_1z_2 \ , \ x_1y_2-y_1x_2) a×b=(y1z2−z1y2 , z1x2−x1z2 , x1y2−y1x2)
向量 a ⃗ \vec{a} a和向量 b ⃗ \vec{b} b的叉乘结果还是一个向量，大小是 ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ sin θ |\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta ∣a∣∣b∣sinθ，方向遵守右手定则（先让右手四指指向 a ⃗ \vec{a} a的方向，当右手的四指从 a ⃗ \vec{a} a以不超过180度的方向转向 b ⃗ \vec{b} b时，竖起的大拇指就是 a ⃗ × b ⃗ \vec{a} \times \vec{b} a×b的方向。[ a ⃗ × b ⃗ \vec{a} \times \vec{b} a×b从 a ⃗ \vec{a} a转向 b ⃗ \vec{b} b， b ⃗ × a ⃗ \vec{b} \times \vec{a} b×a从 b ⃗ \vec{b} b转向 a ⃗ \vec{a} a]）
在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是a和b向量构成的平面的法向量。通俗一点就是如果 c ⃗ = a ⃗ × b ⃗ \vec{c}=\vec{a} \times \vec{b} c=a×b，那么 a ⃗ ⋅ c ⃗ = 0 , b ⃗ × c ⃗ = 0 \vec{a} \cdot \vec{c}=0,\vec{b} \times \vec{c}=0 a⋅c=0,b×c=0
点乘的几何意义是： a ⃗ × b ⃗ \vec{a} \times \vec{b} a×b在数值上等于由向量 a ⃗ \vec{a} a和向量 b ⃗ \vec{b} b构成的平行四边形的面积（也就是 ∣ a ⃗ ∣ |\vec{a}| ∣a∣为底， ∣ b ⃗ ∣ sin θ |\vec{b}|\sin\theta ∣b∣sinθ为高）
点乘的物理意义可看做：力F在力臂L的方向上的力矩（ M ⃗ = L ⃗ ⋅ F ⃗ \vec{M}=\vec{L} \cdot \vec{F} M=L⋅F， L L L是从转动轴到着力点的距离矢量）
补充：
- a ⃗ × b ⃗ = − b ⃗ × a ⃗ \vec{a} \times \vec{b}=-\vec{b} \times \vec{a} a×b=−b×a
- 叉乘不满足结合律，满足雅克比恒等式： a ⃗ × ( b ⃗ × c ⃗ ) + b ⃗ × ( c ⃗ × a ⃗ ) + c ⃗ × ( a ⃗ × b ⃗ ) = 0 \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})+\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a})+\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})=0 a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0
- 两个非零向量 a ⃗ \vec{a} a和 b ⃗ \vec{b} b平行，当且仅当 a ⃗ × b ⃗ = 0 \vec{a} \times \vec{b}=0 a×b=0
- 拉格朗日公式1： ( a ⃗ × b ⃗ ) × c ⃗ = b ⃗ × ( a ⃗ ⋅ c ⃗ ) − a ⃗ × ( b ⃗ ⋅ c ⃗ ) (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=\vec{b} \times (\vec{a} \cdot \vec{c})-\vec{a} \times (\vec{b} \cdot \vec{c}) (a×b)×c=b×(a⋅c)−a×(b⋅c)
- 拉格朗日公式2： a ⃗ × ( b ⃗ × c ⃗ ) = b ⃗ × ( a ⃗ ⋅ c ⃗ ) − c ⃗ × ( a ⃗ ⋅ b ⃗ ) \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})=\vec{b} \times (\vec{a} \cdot \vec{c})-\vec{c} \times (\vec{a} \cdot \vec{b}) a×(b×c)=b×(a⋅c)−c×(a⋅b)
混合积
定义： 已知三个向量a，b和c。如果先作两向量a和b的外积a×b，把所得到的向量与第三个向量c再作数量积，这样得到的数量叫做三向量a，b，c的混合积，记作[abc]。
定理：三个向量a，b，c共面的充分必要条件是[abc]=0
性质：
\uad 式子1： [ a b c ] = [ b c a ] = [ c a b ] = ( a ⃗ × b ⃗ ) ⋅ c ⃗ = ( b ⃗ × c ⃗ ) ⋅ a ⃗ = ( c ⃗ × a ⃗ ) ⋅ b ⃗ [abc]= [bca]= [cab] =(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} [abc]=[bca]=[cab]=(a×b)⋅c=(b×c)⋅a=(c×a)⋅b
\uad 式子2： [ b a c ] = [ a c b ] = [ c b a ] = ( b ⃗ × a ⃗ ) ⋅ c ⃗ = ( c ⃗ × a ⃗ ) ⋅ b ⃗ = ( c ⃗ × b ⃗ ) ⋅ a ⃗ [bac]= [acb]= [cba] =(\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{c}=(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}=(\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} [bac]=[acb]=[cba]=(b×a)⋅c=(c×a)⋅b=(c×b)⋅a
\uad 式子1与式子2正负相反
向量的混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积。如果向量a、b、c组成右手系（即c的指向按右手规则从a转向b来确定），那么混合积的符号是正的；如果a、b、c组成左手系（即c的指向按左手规则从a转向b来确定），那么混合积的符号是负的。
其实从定义就可看出，混合积的正负取决于向量(a×b)与向量c夹角的余弦值。
几何运用：
∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ sin θ = |\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta= ∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ= 两向量a、b为邻边，所构成的平行四边形的面积。|a|是底|b| sin θ \sin\theta sinθ是高
混合积[abc]的绝对值，等于三个向量a、b、c为邻边，所构成的平行六面体的体积。 ∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ |\vec{a} \times \vec{b}| ∣a×b∣是底面积，|c| cos θ \cos\theta cosθ是高， θ \theta θ是向量(a×b)与向量c的夹角
混合积公式推导
向量 a ⃗ = ( x 1 , y 1 , z 1 ) \vec{a}=(x_1,y_1,z_1) a=(x1,y1,z1) ，向量 b ⃗ = ( x 2 , y 2 , z 2 ) \vec{b}=(x_2,y_2,z_2) b=(x2,y2,z2) ，向量 c ⃗ = ( x 3 , y 3 , z 3 ) \vec{c}=(x_3,y_3,z_3) c=(x3,y3,z3)
因为：
a ⃗ × b ⃗ = ∣ i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ∣ = ∣ y 1 z 1 y 2 z 2 ∣ i + ∣ z 1 x 1 z 2 x 2 ∣ j + ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ k \vec{a} \times \vec{b}= \left| \begin{matrix} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{matrix} \right|i+ \left| \begin{matrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{matrix} \right|j+ \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{matrix} \right| k a×b=∣∣∣∣∣∣ix1x2jy1y2kz1z2∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣y1y2z1z2∣∣∣∣i+∣∣∣∣z1z2x1x2∣∣∣∣j+∣∣∣∣x1x2y1y2∣∣∣∣k
所以：
[ a b c ] = ( a ⃗ × b ⃗ ) ⋅ c ⃗ = ∣ y 1 z 1 y 2 z 2 ∣ x 3 + ∣ z 1 x 1 z 2 x 2 ∣ y 3 + ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ z 3 = ∣ x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 ∣ [abc] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}= \left| \begin{matrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{matrix} \right| x_3+ \left| \begin{matrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{matrix} \right| y_3+ \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{matrix} \right| z_3= \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \\ \end{matrix} \right| [abc]=(a×b)⋅c=∣∣∣∣y1y2z1z2∣∣∣∣x3+∣∣∣∣z1z2x1x2∣∣∣∣y3+∣∣∣∣x1x2y1y2∣∣∣∣z3=∣∣∣∣∣∣x1x2x3y1y2y3z1z2z3∣∣∣∣∣∣
向量的几何运用
示例1
S 的 有 向 面 积 = ∣ a b c d ∣ S的有向面积=\left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right| S的有向面积=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣
示例2
平面XOY上的三个点 A = ( x 1 , y 1 ) , B = ( x 2 , y 2 ) , C = ( x 1 , y 1 ) A=(x_1,y_1) , B=(x_2,y_2) , C=(x_1,y_1) A=(x1,y1),B=(x2,y2),C=(x1,y1)，则三角形ABC的有向面积 S = 1 2 ∣ x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 ∣ S=\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{matrix} \right| S=21∣∣∣∣∣∣x1x2x3y1y2y3111∣∣∣∣∣∣
证明：
向量 a ⃗ = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ) \vec{a}=(x_2-x_1 , y_2-y_1) a=(x2−x1,y2−y1) ，向量 b ⃗ = ( x 3 − x 1 , y 3 − y 1 ) \vec{b}=(x_3-x_1 , y_3-y_1) b=(x3−x1,y3−y1)
以向量a、b为邻边，所构成的平行四边形的有向面积 S = ∣ x 2 − x 1 y 2 − y 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 ∣ S=\left| \begin{matrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 \end{matrix} \right| S=∣∣∣∣x2−x1x3−x1y2−y1y3−y1∣∣∣∣
∣ x 2 − x 1 y 2 − y 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 ∣ = ∣ x 1 y 1 1 x 2 − x 1 y 2 − y 1 0 x 3 − x 1 y 3 − y 1 0 ∣ = ∣ x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 ∣ \left| \begin{matrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 \end{matrix} \right|= \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & 0 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & 0 \end{matrix} \right|= \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{matrix} \right| ∣∣∣∣x2−x1x3−x1y2−y1y3−y1∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣x1x2−x1x3−x1y1y2−y1y3−y1100∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣x1x2x3y1y2y3111∣∣∣∣∣∣
示例3
空间中的三个向量，向量 a ⃗ = ( a 1 , a 2 , a 3 ) \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) a=(a1,a2,a3) ，向量 b ⃗ = ( b 1 , b 2 , b 3 ) \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) b=(b1,b2,b3) ，向量 c ⃗ = ( c 1 , c 2 , c 3 ) \vec{c}=(c_1,c_2,c_3) c=(c1,c2,c3) ，以三个向量为邻边构成的的平行六面体的有向体积 V = ∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ V=\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{matrix} \right| V=∣∣∣∣∣∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣∣∣∣∣∣
示例4
空间中的两个向量，向量 a ⃗ = ( a 1 , a 2 , a 3 ) \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) a=(a1,a2,a3) ，向量 b ⃗ = ( b 1 , b 2 , b 3 ) \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) \quad b=(b1,b2,b3)则两向量所在平面的法向量 n ⃗ = ( ∣ a 2 a 3 b 2 b 3 ∣ , − ∣ a 1 a 3 b 1 b 3 ∣ , ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ ) \vec{n}=(\left| \begin{matrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \ , \ -\left| \begin{matrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{matrix} \right| \ , \ \left| \begin{matrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{matrix} \right|) n=(∣∣∣∣a2b2a3b3∣∣∣∣ , −∣∣∣∣a1b1a3b3∣∣∣∣ , ∣∣∣∣a1b1a2b2∣∣∣∣)
a ⃗ × b ⃗ = ∣ i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ = i ∣ a 2 a 3 b 2 b 3 ∣ − j ∣ a 1 a 3 b 1 b 3 ∣ + k ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ \vec{a} \times \vec{b}= \left| \begin{matrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| = i\left| \begin{matrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{matrix} \right|- j\left| \begin{matrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{matrix} \right|+ k\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{matrix} \right| a×b=∣∣∣∣∣∣ia1b1ja2b2ka3b3∣∣∣∣∣∣=i∣∣∣∣a2b2a3b3∣∣∣∣−j∣∣∣∣a1b1a3b3∣∣∣∣+k∣∣∣∣a1b1a2b2∣∣∣∣
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