停课不停学

理科授课教师：何君丽

何君丽，女，高中数学教师，本科学历，工作14年，一直从事高中数学教学，工作认真，负责，教学中认真备好每堂课，认真讲好每一道题，认认真真做事，踏踏实实教学，注重培养学生良好的学习习惯，逐步引导学生具有独立思考和解决问题的能力。教学成绩优异，常名列前茅，多次评为校级优秀教师和骨干教师，所著论文多次获得省级二等奖和三等奖。

 “用心做教育，用爱育人才”是我的教育理念。

课堂实录

《数列求和》

主讲人：何君丽

课例研究

现代教师，教学研究不可或缺，精心撰写的课例研修报告如下：

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数列求和课例研修报告

何君丽

一  考纲内容展示考纲内容展示考纲内容展示     

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把数列、导数与方程综合在一起。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。

二  经典模拟题

知识点一　分组分解求和法

 总结　分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和.

知识点二　奇偶并项求和法

引申探究

总结　奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论.

知识点三　裂项相消求和法

总结　如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项.裂项相消求和常用公式：

知识点四　错位相减求和法

例4　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝3Sn－2(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{nan}的前n项和Tn.

总结　错位相减法主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和.

利用“错位相减法”时，先写出Sn与qSn的表达式，再将两式对齐作差，正确写出(1－q)Sn的表达式；(利用此法时要注意讨论公比q是否等于1).

三  课堂练习

1、已知正项等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝24.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)数列{bn}满足bn＝log2an，求数列{an＋bn}的前n项和.

2、

3、已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn.

4、已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，在等差数列{bn}中，bn＞0，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列.

(1)求数列{anbn}的通项公式；

(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.

四  课后作业

1、

2、求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.

3、

五  作业反馈

因为学生的能力层次参差不齐,上完一节课之后未必每个学生都能接受全部的知识内容,简单的题学生能掌握，难度大的学生仍然存在问题，甚至计算也有问题。所以，必须给出时间让他们去理清知识脉络。

六  分层补偿性训练

◆ 必做题：

1、数列：1,1＋2,1＋2＋2²,1＋2＋2²＋2³,…的前n项之和为什么?

2、数列{ a_n}中,前n项之和S_n=1－5＋9－13＋17－21＋…+(－1)^n－1(4n－3),则S₁₅＋S₂₂－S₃₁=       .

 

4.设设数列{a_n}是公差d＝4的等差数列,前20项之和为S₂₀=660．

      (Ⅰ)求它的首项a₁；

 ◆ 选做题：

◆ 思考题：

    

我们还有一位文科数学老师向大家推介：

文科授课教师：甘在容

甘在容，女，中小学数学二级教师，本科学历。2013年毕业于云南师范大学。毕业6年来，一直从事中学数学教学。爱钻研、好创新的我和学生一起在数学的天堂里快乐遨游。

“学生是学习的主人，是班级的主人。”是我的教育理念和管理理念。

课堂实录

《数列专题微课》

主讲人：甘在容

课例研究

优秀的教师总是相似的，附上课例研修报告：

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数列专题微课课例研究报告

                甘在容               

一、课例研究

文科数学考纲解读：

1.数列是高中数学的重要内容，高考对本章的考察比较全面，等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；

2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.

3.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消，倒序相加，并项求和等方法求数列的和，难度中档偏下；

4.解答题考查学生的思维能力，解决问题的能力在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透，难度进一步提升。本章还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考察函数与方程，转化与化归，分类讨论等重要思想，以及配方法，换法，待定系数法等基本数学方法。

二、教案

 疫情期间“停课不停学”

              ------数列专题微课

授课教师：甘在容

时间：2020年3月8日

(一)考情分析：

1.数列是高中数学的重要内容，高考对本章的考察比较全面，等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；

2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.

3.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消，倒序相加，并项求和等方法求数列的和，难度中档偏下；

4.解答题考查学生的思维能力，解决问题的能力在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透，难度进一步提升。本章还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考察函数与方程，转化与化归，分类讨论等重要思想，以及配方法，换法，待定系数法等基本数学方法。

(二)学情分析：

数列在高考中会由选择题，填空题，解答题的形式出现，主要考查基本量的运算，求通项公式和数列求和，属于中等难度题型。基本量的运算属于简单内容，学生基本能掌握，但是对于17题的第二问，学生有一定的恐惧，主要是涉及到的知识点较多，属于综合型问题，且答题格式和运算能力要求较高，所以对于基础薄弱的同学要学会踩点得分。

   (三)教学目标

(1)通过复习知识，使学生理清本章只是网络，归纳整合知识系统。

(2)通过师生整理，点评，分析的过程，诊断学系数列存在的问题，学会突破难点的基本方法，使学生对数列有进一步的认识，并形成一定的认知能力。

(3)通过合作讨论，进一步让学生学会思考解决数列问题的方法，并学会踩点得分。

(四)重难点

重点：基本量的运算，数列求和；

难点：数列求和方法及与函数，不等式等结合的应用。

(五)教学过程

基础知识复习

(一)等差数列(知三求二:a_1,q,n,s_n,a_n,)

1.数学表达式：an-an-1=d (n∈N*,n≧2)

2.若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则

(1)通项公式为：an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：S_n＝na₁＋2(n(n－1)d)＝2(n(a1＋an)).

3.等差数列的性质

若{ a_n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N^*)，则a_k＋a_l＝a_m＋a_n。

(二)等比数列(知三求二:a_1,q,n,s_n,a_n,)

1.数学语言表达式：an－1(an)＝q(n≥2，q为非零常数).

2.(1)若等比数列{ a_n}的首项为a₁，公比是q，则其通项公式为a_n＝a₁q^n－1；

通项公式的推广：a_n＝a_mq^n－m.

(2) 等比数列的前n项和公式：

3.等比数列的性质

(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N^*)，则有a_k·a_l＝a_m·a_n.

(三)数列求和

1.特殊数列的求和公式

(1)等差数列的前n项和公式：

S_n＝2(n(a1＋an))＝na₁＋2(n(n－1))d.

(2)等比数列的前n项和公式：

2.数列求和的几种常用方法(关键是看数列的通项公式形式)

(1)分组转化法：

，其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列;

(2)裂项相消法

;

(3)错位相减法:

其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列;

.

(4)倒序相加法:(如等差数列求和方法)

(5)并项求和法：

，前后两项合并为一个常数。

3.裂项求和常用的三种变形

(1)n(n＋1)(1)＝n(1)－n＋1(1).

(2)(2n－1)(2n＋1)(1)＝2(1)2n＋1(1).

(3)n＋1(1)＝－.(特殊形式)

(六)知识应用

题型一：基本量的运算

1.(2018·郑州调研)已知等差数列{ a_n}的公差为2，a₂，a₃，a₆成等比数列，则{ a_n}的前n项和S_n＝(　　)

A.n(n－2)    B.n(n－1)

C.n(n＋1)    D.n(n＋2)

分析：看到求等差数列{ a_n}前n项和，想到利用基本量法求等差数列的首相和公差，用公式法直接求和。

解析：依题意a3(2)＝a₂·a₆，得(a₁＋4)²＝(a₁＋2)(a₁＋10).解得a₁＝－1.

因此S_n＝na₁＋2(n(n－1))×2＝n²－2n.

答案　A

2.等比数列{ a_n}的各项均为正数，且a₅a₆＋a₄a₇＝18，则log₃a₁＋log₃a₂＋…＋log₃a₁₀＝(　　)

A.12   B.10   C.8   D.2＋log₃5

解析：同底的对数式相加，log_am+log_an=log_anm;

根据等比数列的性质,若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N^*)，则有a_k·a_l＝a_m·a_n，

a₅a₆＝a₄a₇₌a₁a₁₀＝9,

解析　由等比数列的性质知a₅a₆＝a₄a₇，又a₅a₆＋a₄a₇＝18，所以a₅a₆＝9，则原式＝log₃(a₁a₂…a₁₀)＝log₃(a₅a₆)⁵＝10.

答案　B

3.已知数列{ a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n＋S_n＝1(n∈N^*)，则通项a_n＝________.

分析：已知S_n求a_n步骤：

(1)n=1时，a₁=s₁,

(2)n≥2时,a_n=S_n－S_n－1,

(3)检验当n＝1时，①a₁若适合S_n－S_n－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项a_n；②当n＝1时，a₁若不适合S_n－S_n－1，则用分段函数的形式表示.

(4)写出a_n

解析　∵a_n＋S_n＝1，①

∴a₁＝2(1)，a_n－1＋S_n－1＝1(n≥2)，②由①－②，得a_n－a_n－1＋a_n＝0，即an－1(an)＝2(1)(n≥2)，

∴数列{ a_n}是首项为2(1)，公比为2(1)的等比数列，

则a_n＝2(1)×2(1)＝2n(1).

答案：　2n(1)

4.已知数列{ a_n}满足a₁＝1，a_n－a_n＋1＝2a_na_n＋1，则a₆＝________.

分析：(1)填空题可用列举法处理

(2)求数列的某一项通常先求出该数列的通项公式再进一步求解，该题通过在两边同时除以a_na_n＋1，就可以化简。

解析　：(法一)列举法

n=1时，

n=2时,等

(法二)将a_n－a_n＋1＝2a_na_n＋1两边同时除以a_na_n＋1，an＋1(1)－an(1)＝2.

所以an(1)是以a1(1)＝1为首项，2为公差的等差数列，

所以a6(1)＝1＋5×2＝11，即a₆＝11(1).

答案　11(1)

题型二：解答题

1.【典例】 (12分)(2017·天津卷)已知{ a_n}为等差数列，前n项和为S_n(n∈N^*)，{ b_n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b₂＋b₃＝12，b₃＝a₄－2a₁，S₁₁＝11b₄.

(1)求{ a_n}和{ b_n}的通项公式；

(2)求数列{ a_2nb_n}的前n项和(n∈N^*).

(1)看到求等差数列{ a_n}和等比数列{ b_n}的通项公式，想到利用基本量法分别求等差、等比数列的公差和公比；

(2)看到求数列{ a_2nb_n}的前n项和，想到利用错位相减法求数列的前n项和.

解析：

2. (2018·成都二诊)设正项等比数列{ a_n}，a₄＝81，且a₂，a₃的等差中项为2(3)(a₁＋a₂).

(1)求数列{ a_n}的通项公式；

(2)若b_n＝log₃a_2n－1，数列{ b_n}的前n项和为S_n，数列{ c_n}满足c_n＝4Sn－1(1)，T_n为数列{ c_n}的前n项和，若T_n<λn恒成立，求λ的取值范围.

分析：(1)看到求等差数列{ a_n}的通项公式，想到利用基本量法分别求等差数列的公差和首项。

(2)看到log₃a_2n－1，想到a_n  是以3为公比的等比数列，所以b_n是等差数列，c_n符合裂项相消法的形式，从而进一步化简。

(2)求λ得范围，想到不等式和函数求参数的方法——分离参数。

解析：　(1)设等比数列{ a_n}的公比为q(q>0)，

由题意，得a1q＋a1q2＝3(a1＋a1q)，(a4＝a1q3＝81，)解得q＝3.(a1＝3，)所以a_n＝a₁q^n－1＝3ⁿ.

(2)由(1)得b_n＝log₃3^2n－1＝2n－1，

S_n＝2(n(b1＋bn))＝2(n[1＋(2n－1)])＝n²

∴c_n＝4n2－1(1)＝2(1)2n＋1(1)，

∴T_n＝2(1)2n＋1(1)

＝2n＋1(n).

若T_n＝2n＋1(n)<λn恒成立，则λ>2n＋1(1)(n∈N^*)恒成立，

则λ>2n＋1(1)，所以λ>3(1).

裂项求和的常见技巧：

(1)n(n＋1)(1)＝n(1)－n＋1(1).

(2)n(n＋k)(1)＝k(1)n＋k(1).

(3)n2－1(1)＝2(1)n＋1(1).

(4)4n2－1(1)＝2(1)2n＋1(1).

(5)n＋1(1)＝－.(特殊形式)

(七)课后作业：

(备注：基础薄弱的做作业第1——5；基础好的做1——7)

1.设数列{ a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，若a₆＝2且S₅＝30，则S₈等于(　　)

A.31   B.32   C.33   D.34

2.(2018·石家庄调研)在等比数列{ a_n}中，a₆，a₁₀是方程x²＋6x＋2＝0的两个实数根，则a₈的值为(　　)

A.2    B.－或

C.    D.－

3.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.

4.等差数列{ a_n}的公差d≠0，且a₃，a₅，a₁₅成等比数列，若a₅＝5，S_n为数列{ a_n}的前n项和，则数列n(Sn)的前n项和取最小值时的n为________.

5.(2017·山东卷)已知{ a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁＋a₂＝6，a₁a₂＝a₃.

(1)求数列{ a_n}的通项公式；

(2){ b_n}为各项非零的等差数列，其前n项和为S_n，已知S_2n＋1＝b_nb_n＋1，求数列an(bn)的前n项和T_n.

6.(经典母题)若数列{ a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n＋2S_nS_n－1＝0(n≥2)，a₁＝2(1).

(1)求证：Sn(1)成等差数列；

(2)求数列{ a_n}的通项公式.

7. (2018·安徽江南名校联考)已知数列{ a_n}的首项a₁＝1，S_n是数列{ a_n}的前n项和，且满足2(S_n＋1)＝(n＋3)a_n.

(1)求数列{ a_n}的通项公式；

(2)设数列{ b_n}满足b_n＝anan＋1(1)，记数列{ b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n<3.

(八)小结：

1：本节课你学习到了什么？

2：在解决数列解答题时，不能完整作答的部分，如何踩点得分？

(九)学生作业反馈:

基本量之间的关系和运算学生基本都会，但是解答题的解答情况就比较不理想，主要是综合知识的应用，第(2)问有的学生看到题目就不敢做答，还是要鼓励学生尝试着去做。

(十)课后反思：

这节课为高三二轮复习的专题微课，课堂的设计主要是遵循高考涉及到的考点，考察形式及解答题的踩点。

本节课教学有成功也有不足的地方；为了较好的体现高三二轮复习中的特点，要注重拔高拔高班级尖子生。所以我在教学过程中不但让学生学习基本的解题技巧，还对题型的难度有所拔高。我应用了先思考和剖解答的形式，让学生有一定的思考空间。

成功的地方：

    这堂课突出数列专题的主题，解决了数列在高考中涉及到的内容，尤其是数列求和的两种重要方法——错位相减求和，裂项相消法求和。解答题还与函数，不等式结合考察，提升了题目难度，整体上题目由简单到复杂，符合学生的学情，也符合高考的考情。

‚题型上既有简单的题型，涉及到的知识较为简单，而且又是基础知识，符合一部分学生的学情；又有有一定难度的题型，中间由简单到难，题型较多，会让基础较好的同学，不会在一堂课上没有学到新知识的尴尬。

ƒ在课堂上我注重解答题解题格式的示范，特别强调学生易出错的地方，并且在解答过程中我对于基础薄弱的同学，我也强调了解答题如何踩点得分。

不足的地方：

课堂上语言不够凝练，提问的效用不足；

‚对基础薄弱的同学课堂知识的容量太大和难度太高；这节课是复习课，涉及到的知识点较多，需要学生对知识的理解掌握程度较高，题目较多，时间较紧，所以有的知识处理的不够到位，学生的训练不足，所以后面时间较紧，而且在课堂上有效的评价不足。

需要改进的地方：

备课时备考情，备学情，备了后备教案，写教案时要注意题型的选择，关注到学生的情况，既要有基础的，又要对尖子生有所提升。另一个是要注意问题的提问方式，提问的有效性。

十一、补偿性训练

1.(2018·全国Ⅰ卷)记S_n为等差数列{ a_n}的前n项和.若3S₃＝S₂＋S₄，a₁＝2，则a₅＝(　　)

A.－12   B.－10   C.10   D.12

2.公比不为1的等比数列{ a_n}满足a₅a₆＋a₄a₇＝18，若a₁a_m＝9，则m的值为(　　)

A.8   B.9   C.10   D.11

3.已知等差数列{ a_n}的首项a₁＝20，公差d＝－2，则前n项和S_n的最大值为________.

4.(2018·成都诊断)已知数列{ a_n}中，a₁＝2，且n＋1(2)n＋1()＝4(a_n＋1－a_n)(n∈N^*)，则其前9项的和S₉＝________.

5.数列{ a_n}中，a_n＝n(n＋1)(1)，若{ a_n}的前n项和为2 020(2 019)，则项数n为(　　)

A.2 018   B.2 019 C.2 020   D.2 021

6.(2019·河北“五个一”名校质检)若f(x)＋f(1－x)＝4，a_n＝f(0)＋fn(1)＋…＋fn(n－1)＋f(1)(n∈N^*)，则数列{ a_n}的通项公式为________.

7.已知数列{ a_n}中，点(a_n，a_n＋1)在直线y＝x＋2上，且首项a₁＝1.

(1)求数列{ a_n}的通项公式；

(2)数列{ a_n}的前n项和为S_n，等比数列{ b_n}中，b₁＝a₁，b₂＝a₂，数列{ b_n}的前n项和为T_n，请写出适合条件T_n≤S_n的所有n的值.

8. (2019·太原调研)已知数列{ a_n}的前n项和为S_n＝2(n(n＋1))，数列{ b_n}满足b_n＝a_n＋a_n＋1(n∈N^*)．

(1)求数列{ b_n}的通项公式；

(2)若c_n＝2a_n·(b_n－1)(n∈N^*)，求数列{ c_n}的前n项和T_n.

(2)若S₅＝32(31)，求λ.

团队合作

我不仅是我，还是我们当中普通的一员。

高三理科数学团队：

杨庆梅、黄臻峰(珠海)  

李永翔、何君丽 、赵永凤

高三文科数学团队：

杨舒、杨嘉慎、甘在容

图片：何君丽  甘在容  杨庆梅  杨舒

文字：2020届高三年级组

审核：王永生

推送：王晓萍