证明：棣莫弗 ( d e M o i v r e ) [ 1 ] (de Moivre)^{[1]} (deMoivre)[1]公式
cos n x + i sin n x = ( cos x + i sin x ) n \cos n x+i \sin n x=(\cos x+i \sin x)^{n} cosnx+isinnx=(cosx+isinx)n
方法1→欧拉公式
引入欧拉公式： e i x = c o s x + i s i n x e^{ix}=cosx+isinx eix=cosx+isinx
将 e t e^t et， s i n t sint sint， c o s t cost cost分别展开为泰勒级数：
e t = 1 + t + t 2 2 ! + t 3 3 ! + ⋯ + t n n ! + ⋯ e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+ \cdots +\frac{t^n}{n!}+ \cdots et=1+t+2!t2+3!t3+⋯+n!tn+⋯
s i n t = t − t 3 3 ! + t 5 5 ! − t 7 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 z 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + ⋯ sint=t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}-\frac{t^7}{7!}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{z^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+\cdots sint=t−3!t3+5!t5−7!t7+⋯+(−1)n−1(2n−1)!z2n−1+⋯
c o s t = 1 − t 2 2 ! + t 4 4 ! − t 6 6 ! + ⋯ + ( − 1 ) n z 2 n ( 2 n ) ! + ⋯ cost=1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}-\frac{t^6}{6!}+\cdots+(-1)^{n} \frac{z^{2 n}}{(2 n) !}+\cdots cost=1−2!t2+4!t4−6!t6+⋯+(−1)n(2n)!z2n+⋯
将 t = i x t=ix t=ix代入以上三式，可得欧拉公式
e i x = 1 + i z + ( i z ) 2 2 ! + ⋯ + ( i z ) n n ! + ⋯ = 1 + i z − z 2 2 ! − i z 3 3 ! + z 4 4 ! + i z 5 5 ! + ⋯ = ( 1 − z 2 2 ! + z 4 4 ! + ⋯ ) + i ( z − z 3 3 ! + z 5 5 ! + ⋯ ) = c o s x + i s i n x \begin{aligned} e^{i x} &=1+i z+\frac{(i z)^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{(i z)^{n}}{n !}+\cdots\\ &=1+i z-\frac{z^{2}}{2 !}-i \frac{z^{3}}{3 !}+\frac{z^{4}}{4 !}+i \frac{z^{5}}{5 !}+\cdots \\ &=\left(1-\frac{z^{2}}{2 !}+\frac{z^{4}}{4 !}+\cdots\right)+i\left(z-\frac{z^{3}}{3 !}+\frac{z^{5}}{5 !}+\cdots\right)\\ &=cosx+isinx \end{aligned} eix=1+iz+2!(iz)2+⋯+n!(iz)n+⋯=1+iz−2!z2</
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