函数是数集到数集的映射
函数
定义
设数集,
为实数集,则称映射
为定义在
上的函数,简记为:
其中 称为自变量,
称为因变量,
称为定义域,记作
,即
,值域
每个 ∈
,都有唯一确定的
值与之对应,称为函数
在
处的函数值。
这种依赖关系通常称为函数关系。
- 函数两要素:
,
(因为值域一定落在实数集
,所以不用再作为要素。映射的值域可以是任意的东西)
- 函数表示的三种方法:表格法,图形法,解析式
符号函数:用来表示 的正负性
表示不超过
的最大整数
函数的几种特性
1. 有界性
上界:,
,
就是
在
上的一个上界。上界不唯一。如果
,那么
一定成立。
下界:,
,
就是
在
上的一个下界。同理,下界不唯一。
有界:如果存在正数M,即 ,使得
无界:任给正数M,即 ,都
,使得
有界 既有上界也有下界 (
表示:充分必要条件)
2. 单调性
单调增:,
,该函数单调递增
单调减:,
,该函数单调递减
3. 奇偶性
关于原点对称,如果
,即为偶函数;如果
,即为奇函数。偶函数的图像关于
轴对称,奇函数的图像关于原点对称。
4. 周期性
(存在正数
),
,
就是函数
的周期。
周期有无数个(,
...),我们所说的周期一般都是最小周期。
并非每个函数都有最小周期。
迪利克雷(Dirichlet)函数,任何正有理数 都是他的周期,
,因此不存在最小的正有理数周期。
(
有理数,
无理数)
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