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函数序列及其一致收敛性

函数序列及其一致收敛性

$\quad$ 此前，我们已经可以用收敛数列（或收敛的数项级数）来表示或定义一个数，接下来讨论：

如何由一个收敛的函数序列（或收敛的函数项级数）来表示或定义一个函数

【示例】：

（1）证明： $\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(1+\frac{x}{n})^n=e^x$ ；

（2）证明： $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^n}{n}=\ln (1+x)$ .

对以上两个问题，先前的做法通常是将每一项中的变量视为常数，之后。我们就研究其函数性质。

函数序列

定义 1（函数序列）：设 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x),\cdots$ 是具有公共定义域 $E$ 的一列函数，则称其为定义在 $E$ 上的一个函数序列，或函数列，简记作 ${f_n(x)\}$ 或 $f_n(x),n=1,2,3,\cdots$ 。

$\quad$ 此外，类似于数列极限，函数序列同样有极限的概念。

定义 2（极限函数）：设 ${f_n(x)\}$ 是定义在集合 $E$ 上的函数序列，若存在 $x_0 \in E$ ，使得数列
$f_1(x_0),f_2(x_0),\cdots,f_n(x_0),\cdots$
收敛，则称函数序列 ${f_n(x)\}$ 在点 $x_0$ 处收敛， $x_0$ 称为 ${f_n(x)\}$ 的一个收敛点。

$\quad$ 设 $D$ 是函数序列 ${f_n(x)\}$ 的收敛点全体构成的集合，则称 $D$ 为 ${f_n(x)\}$ 的收敛域。

$\quad$ 对于任意的 $\in D \subset E$ ，若有 ${f_n(x)\}$ 的一个极限值与之对应，则由这个对应法则所确定的 $D$ 上的函数 $f (x)$ 称为函数序列 ${f_n(x)\}$ 的极限函数。即
$=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x),\quad x \in D.$
或
$f_n(x) \rightarrow f(x) \quad (n \rightarrow \infty),\quad x \in D.$

$\quad$ 对 定义 2 作以下说明：

（1）一般情况下，函数序列 ${f_n(x)\}$ 的收敛域 $D$ 是一个区间；

（2）由于 $f (x)$ 是通过逐点定义的方式得到的，因此称 ${f_n(x)\}$ 在 $D$ 上点态收敛于 $f (x)$ 。

（3）由 定义 2 可知：
$\text{函数列}\{f_n(x)\} \text{在} D \text{上} \text{点态收敛于} f(x) \Longleftrightarrow \text{对于任意给定的} x_0 \in D,\text{都有数列} \{f_n(x_0)\} \text{收敛于} f(x_0).$
（4）”函数序列 ${f_n(x)\}$ 在 $D$ 上点态收敛于 $f (x)$ ” 可用 “ $\epsilon-N$ ” 语言描述：
$\forall x_0 \in D,\forall \epsilon>0,\exists N=N(\epsilon,x_0),\forall n>N:|f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon.$
此处的 $N$ 不仅与 $\epsilon$ 有关，而且随 $x_0$ 的不同而变化。

函数序列的一致收敛性

$\quad$ 有些函数序列不仅在收敛域上点态收敛于相应的极限函数，而且在收敛速度上具有某种整体一致性，我们称这种性质为一致收敛性。下面给出一致收敛性的概念。

定义 3（函数序列的一致收敛）：设函数序列 ${f_n(x)\}$ （ $\in E$ ）在集合 $\subset E$ 上点态收敛于 $f (x)$ ，若对于任意给定的 $\epsilon>0$ ，存在正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，
$\left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon$
对一切 $\in D$ 成立，则称函数序列 ${f_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f (x)$ ，记作：
$f_n(x) \xRightarrow{D} f(x)\quad (n \rightarrow \infty),\quad x \in D.$

$\quad$ 对 定义 3 作以下说明：

（1）“函数序列 ${f_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f (x)$ ” 用 “ $\epsilon-N$ ” 语言描述：
$\forall \epsilon>0,\exists N=N(\epsilon),\forall n>N,\forall x \in D:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon.$
（2）“函数序列 ${f_n(x)\}$ 在 $D$ 上不一致收敛于 $f (x)$ ”，按照量词取反的对偶原则，有：
$\exists \epsilon_0>0,\forall N,\exists n>N,\exists x_0 \in D:|f_n(x_0)-f(x_0)|\ge \epsilon_0.$
（3）“函数序列 ${f_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f (x)$ ” 的几何意义：
$\text{对任意给定的}\epsilon>0,\text{存在正整数}N,\text{当}n>N\text{时},\text{曲线} y=f_n(x)\text{都将落在以曲线}y=f(x)-\epsilon\text{与}y=f(x)+\epsilon\text{为边的带状区域}.$

定义 4（函数序列的内闭一致收敛）：设函数序列 ${f_n(x)\}$ （ $\in E$ ）在集合 $\subset E$ 上点态收敛于 $f (x)$ ，若对于任意的闭区间 $\subset D$ ， ${f_n(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f (x)$ ，则称函数序列 ${f_n(x)\}$ 在 $D$ 上内闭一致收敛于 $f (x)$ 。

$\quad$ 对 定义 4 作以下说明：

（1）在 $D$ 上一致收敛的函数序列一定也在 $D$ 上内闭一致收敛，但反之不成立。

函数序列一致收敛性的判别法

$\quad$ 设函数序列 ${f_n(x)\}$ （ $\in E$ ）在集合 $\subset E$ 上点态收敛于 $f (x)$ ，思考：什么情况下， ${f_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛？

$\quad$ 下面，给出函数序列一致收敛的几个判别方法（三个充要条件）。

定理 1：设函数序列 ${f_n(x)\}$ （ $\in E$ ）在集合 $\subset E$ 上点态收敛于 $f (x)$ ，则 ${f_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f (x)$ 的充分必要条件为：
$\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{\underset{x \in D}{\sup}|f_n(x)-f(x)|}=0.$

定理 2：设函数序列 ${f_n(x)\}$ （ $\in E$ ）在集合 $\subset E$ 上点态收敛于 $f (x)$ ，则 ${f_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f (x)$ 的充分必要条件为：对任意的数列 ${x_n\}$ ， $x_n \in D$ ，成立
$\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(f_n(x_n)-f(x_n))=0.$

$\quad$ 由 定理 2 可得 推论 1。

推论 1：设函数序列 ${f_n(x)\}$ （ $\in E$ ）在集合 $\subset E$ 上点态收敛于 $f (x)$ ，则 ${f_n(x)\}$ 在 $D$ 上不一致收敛于 $f (x)$ 的充分必要条件为：存在数列 ${x_n\}$ ， $x_n \in D$ ，成立
$\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(f_n(x_n)-f(x_n))\ne0.$

注：推论 1 常用来判断函数序列的不一致收敛。

定理 3（函数序列的Cauchy 收敛准则）： 设函数序列 ${f_n(x)\}$ （ $\in E$ ）在集合 $\subset E$ 上点态收敛于 $f (x)$ ，则 ${f_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f (x)$ 的充分必要条件为：对于任意给定的 $\epsilon>0$ ，存在正整数 $N$ ，使得当 $n, m > N$ 时，
$\left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon$
对一切 $\in D$ 成立。

一致收敛的函数序列的性质

$\quad$ 下面，来研究一致收敛的函数序列的性质。

定理 4（连续性定理）：设函数序列 ${f_n(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f (x)$ ，若 ${f_n(x)\}$ 中的每一项都在 $[a, b]$ 上连续，则 $f (x)$ 也在 $[a, b]$ 上连续。

$\quad$ 由 定理 4 可得
$\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x)=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}f(x)=f(x_0)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x_0)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}f_n(x)$
也就是说，两个极限运算可以交换次序。

定理 5：设函数序列 ${f_n(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f (x)$ ，若 ${f_n(x)\}$ 中的每一项都在 $[a, b]$ 上连续，则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\int_{a}^{b}f_n(x)dx.$

$\quad$ 由 定理 4 可得
$\int_{a}^{b}\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x)dx=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\int_{a}^{b}f_n(x)dx.$
也就是说，极限运算与积分运算可以交换次序。

定理 6：设函数序列 ${f_n(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上点态收敛于 $f (x)$ ，若

（1） $f_n(x)$ （ $n=1,2,3,\cdots$ ）在 $[a, b]$ 上有连续的导函数；

（2）导函数序列 ${f_n'(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $\sigma(x)$ ，

则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且
$\frac{d}{dx}f(x)=\sigma(x).$
$\quad$ 由 定理 6 可得
$\frac{d}{dx}\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{d}{dx}f_n(x).$
也就是说，极限运算与求导运算可以交换次序。

$\quad$ 函数序列 ${f_n(x)\}$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续（即每一项都连续），且点态收敛于连续函数 $f (x)$ ，并不能说明：函数序列 ${f_n(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f (x)$ 。也就是说，定理 4 的逆命题并不成立！但在某些条件下，由 $f (x)$ 的连续性可得 ${f_n(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上的一致连续性，即下面的 Dini 定理。

定理 7（Dini 定理）：设函数序列 ${f_n(x)\}$ 在闭区间 $[a, b]$ 上点态收敛于 $f (x)$ ，若

（1） $f_n(x)$ （ $n=1,2,3,\cdots$ ）在 $[a, b]$ 上连续；

（2） $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续；

（3） ${f_n(x)\}$ 关于 $n$ 单调，即对任意固定的 $\in [a,b]$ ， ${f_n(x)\}$ 是单调数列，

则函数序列 ${f_n(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f (x)$ 。

参考文献

[1] 陈纪修，于崇华，金路著. 数学分析上册. 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析上册. 第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07.

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