因式分解法

前言

因式分解的主要方法有：提取公因式法；公式法；拆添项法；十字相乘法；分组分解法；多项式除法；待定系数法；

常用方法

• 提取公因式法；

引例，已知\(f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2\)．求\(f'(x)\)；

分析：\(f'(x)=1\cdot e^x+(x-2)\cdot e^x+2a(x-1)\)\(=e^x(x-1)+2a(x-1)\)\(=(x-1)(e^x+2a)\)，

引例，涉及提取公因式法的常用变形

• 拆添项法；

已知\(3t^3-7t^2+4=0\)，求\(t\)的值；

分析：先将方程拆项变形为\(3t^3-3t^2-4t^2+4=0\)，然后分组分解得到，\(3t^2(t-1)-4(t-1)(t+1)\) \(=(t-1)(3t^2-4t-4)\) \(=(t-1)(t-2)(3t+2)=0\)，

• 公式法；

\(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)；\(a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\)；

• 十字相乘法，使用最为广泛。实际高三数学教学和考试中的解不等式常常是这样的，熟练掌握对你的数学学习会有帮助的。

①\(x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0\)，即\((x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0\)；

②\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，即\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；

③\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0\)；即\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0\)；

④\(x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，即\((x-a)(x-a^2)\leq 0\)；

⑤\(x^2-(a+1)x+a\leq 0\)，即\((x-1)(x-a)\leq 0\)；

⑥\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0\)；即\((x-1)[x-(a+1)]\leq 0\)；

⑦\(\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)\)；即\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\)，解集为\((2a，a^2+1)\)；

⑧\(x^2+(m+4)x+m+3<0\)，即\((x+1)[x+(m+3)]<0\)；

⑨\(x^2-(a+\cfrac{1}{a})x+1<0\)，即\((x-a)(x-\cfrac{1}{a})<0\)；

⑩\(f'(x)=x+(a-e)-\cfrac{ae}{x}=\cfrac{x^2+(a-e)x-ae}{x}=\cfrac{(x+a)(x-e)}{x}\)；

⑾\(x^2-2ax+a^2-4=x^2-2ax+(a+2)(a-2)=[x-(a-2)][x-(a+2)]\leq0\)，即\(a-2\leq x\leq a+2\) ；

• 分组分解法，也能使用于高次式的分解，难点是不容易发现分组的思路。

比如\(3x^3-7x^2+4=0\)，可以分解为\(3x^3-3x^3-4x^3+4=3x^2(x-1)-4(x^2-1)=(x-1)(3x^2-4x-4)=(x-1)(x-2)(3x+2)\)；

那么，上式的分解中怎么会想到将\(-7x^2\)分解为\(-3x^2-4x^2\)的呢？

• 试商法，原理：若\(f(x)=0\)，则\(f(x)\)中至少含有一个因子\(x\)，即\(f(x)=x\cdot g(x)\)或\(f(x)=x\cdot a\)\(a\)为常数。

对于上式\(3x^3-7x^2+4=0\)，先尝试令\(x=0\)，不满足方程，说明三次三项式\(3x^3-7x^2+4\)中不能分解出因式\(x\)；

再尝试令\(x=1\)，发现方程成立，说明三次三项式\(3x^3-7x^2+4\)中应该能分解出因式\(x-1\)，这样另外一个因式的最高次必然会降低为\(2\)次；

如果还不行再尝试\(x=-1\)，依次类推，\(x=0\)，\(x=\pm 1\)，\(x=\pm 2\)，等等如此；

那么用试商法得到其中一个因式后，如何得到剩余的因式呢，这可以用多项式除法来解释说明。

• 多项式除法，多用于三次式或高次式的分解

引例解方程，\(x_0^3-3x_0^2+4=0\)；

分析：先用试商法，令\(x_0=0\)，如果上述方程成立，说明方程能分解出因子\(x_0\)，本题目中显然不成立；

再令\(x_0=1\),上述方程不成立，说明方程不能分解出因子\(x_0-1\)；再令\(x_0=-1\),上述方程成立，

说明方程能分解出因子\(x_0+1\)；这样\(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0+1)(x_0^2+bx_0+c)(b，c是常数，待定)\)，这样做的目的是为了降次；

以下用多项式除法探求另一个因式，多项式除法如下图所示；

看完这个除法，你可能会有这样的想法：其一，多项式的除法和数字的除法本质做法是一样的；其二，这个做法还是比较麻烦；

能不能改进一下呢，回答是肯定的。

• 组合使用法

我们可以用试商法先确定一个因式，从而能确定分组分解的方向，即试商法和分组分解法组合使用。 接上例说明，由于我们知道必定有一个因式为\((x_0+1)\)，故和\(x_0^3\)分组的只能是\(1\)，从而想到将\(4\)拆分为\(1+3\)，然后将\(-3x_0^2\)和\(3\)分组，如下所示：

如\(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0^3+1)-3x_0^2+3=(x_0^3+1)-3(x_0^2-1)\) \(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)-3(x_0+1)(x_0-1)\) \(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1-3x_0+3)=(x_0+1)(x_0-2)^2\)；

典例剖析

例1【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】【难点题目，综合程度高，对学生的运算能力要求很高】

已知正项等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(7S_6=3S_9\)，\(a_4=2\)，则数列\(\{a_{3n-2}+log_2a_n\}\)的前\(10\)项的和\(T_{10}\)=____________。

分析：先由条件容易判定，$q\neq 1 $，由\(7S_6=3S_9\)，得到\(7\times \cfrac{a_1(1-q^6)}{1-q}=3\times \cfrac{a_1(1-q^9)}{1-q}\)

转化得到\(3q^9-7q^6+4=0\)，令\(q^3=t\)，变形为\(3t^3-7t^2+4=0\)，

即\(3t^3-3t^2-4t^2+4=0\)，即\(3t^2(t-1)-4(t-1)(t+1)=\)\((t-1)(3t^2-4t-4)\)\(=(t-1)(t-2)(3t+2)=0\)，

解得\(t=1\)(舍去)，\(t=-\cfrac{2}{3}\)(舍去)，\(t=2\)；

即\(t=q^3=2\)，则\(a_n=a_4\cdot q^{n-4}=2q^{n-4}\)，

则\(a_{3n-2}=2\cdot q^{3n-6}=2\cdot (q^3)^{n-2}=2\cdot 2^{n-2}=2^{n-1}\)；

\(log_2a_n=log_22\cdot q^{n-4}=1+(n-4)log_2q=1+(n-4)\cdot \cfrac{1}{3}log_2q^3\)

\(=1+(n-4)\cdot \cfrac{1}{3}log_22=1+\cfrac{n-4}{3}\)；

则\(T_{10}=(2^0+2^1+\cdots+2^9)+[(1+\cfrac{-3}{3})+(1+\cfrac{-2}{3})+\cdots+(1+\cfrac{6}{3})\)

\(=\cfrac{1(2^{10}-1)}{2-1}+10+\cfrac{1}{3}\times\cfrac{(-3+6)10}{2}=1023+15=1038\);

解后反思：巧妙利用指数幂的运算性质，可以大大简化本题目的运算过程，降低运算难度。

• 上次编辑时间：2019-07-20