二部图 欧拉图 哈密顿图 平面图 判定条件

石墨笔记 PPT版

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1 二部图 偶图 双图 二分图 Ks,t G(V1,V2,E)

使用场景 选取部门分管人员,
完全二部图:V1与V2中任一顶点有且仅有一条关联
完全 二部图Kst:定点数n=s+t,边数m=k*s
充分必要条件:当且仅当G中无奇数长度的回路
匹配:二部图中的边互不相邻
极大匹配: E1∈E,E1中再加一条边就不匹配了,E1是极大匹配
最大匹配:二部图G中边数最多的匹配称为G的最大匹配
完备匹配: V1<=V2,E1=V1,E1是V1到V2的完备匹配
完美匹配:完备匹配条件为V1=V2时,双射关系
霍尔(Hall)定理:V1中任意的k个结点至少与V2中的k个结点相邻 ,相异性条件,算法复杂度为2的n次幂,也是判定二分图的充分必要条件
t条件(充分条件):
①V1中每个顶点至少关联t条边
②V2中每个顶点至多关联t条边
③则说明G中存在V1到V2的完备匹配

如何判断二部图:
1 先用充分条件t条件判断,若满足则为二部图
2 利用二部图 无奇数长度回路的特性判断,若有则不是
3 1不能判断出来再用相异性条件

2 欧拉图

哥尼斯堡问题,一笔画完问题

平凡图是欧拉图,平凡图是只有一个顶点的图
欧拉通路是简单通路(简单图不含平行边也不含环的图,所有边不同的通路是简单通路)
欧拉通路:G中经过每条边一次并且仅有一次的通路
欧拉回路:G中每条边只经过一次的回路称做欧拉回路
有欧拉通路,没有欧拉回路的图不是欧拉图

无向欧拉回路,连通图且无奇度顶点
无向欧拉通路,连通图恰有两个奇度顶点,在有两个奇度顶点的连通图中,每条欧拉通路都以这两个奇度顶点为端点. 例子:矩形加一条对角线
有向欧拉回路:连通且所以顶点入度＝出度
有向欧拉通路:连通且两个奇度顶点,一个入度+1=出度,另一个出度+1=入度
若存在入度比出度大2,或出度比入度大2的顶点,肯定没有欧拉通路,更不是欧拉图

3 哈密顿图

环游世界问题,
哈密顿通路:G经过图中每个顶点一次且仅一次的通路
哈密顿回路:G经过图中每个顶点一次且仅一次的回路
哈密顿图:存在哈密顿图

哈密顿图的特性:
1 一定是连通图
2 是初级通路,初级回路 (通路(回路)中所有结点不同,边也不同)
3 存在哈密顿回路一定有哈密顿通路,反之不一定

哈密顿图的必要条件:
P(G-V1) <= |V1| 减去V1个顶点的连通分支小于等于V1顶点的个数
推论:有割点的图一定不是哈密顿图

无向图哈密顿涂的充分条件:
设G是n(n>=3)的无向简单图,对于G中一对不相邻的顶点u,v均有
d(u)+d(v) >= n-1 则G中存在哈密顿通路, 又若
d(u)+d(v) >= n , 则G中存在哈密顿回路
推论: G是n(n>=3)阶无向简单图,如果任一顶点V>=n/2,则G是哈密顿图
注意这是充分条件,不满足充分条件任然可以是哈密顿图,如 正六边形

其他判定方法:
方法一 删除高度数点,必要条件判定
方法二 反证法
方法3 AB标记法
有向图中哈密顿通路怕你当:
n>=2阶的有向图中,如果略去所有方向,所得无向图中含生成子图Kn,则D中存在哈密顿图

4 平面图

平面图:除顶点外没有边交叉的图
包含面的回路称为面的边界
面r的边界长度称为该面的次数:
平面图所有面的次数之和等于其边数的二倍
极大平面图:任意不相邻顶点加一条,所得图为非平面图
极大平面图的性质:
1 极大平面图是连通的
2 n(n>=3)阶平面图是极大平面图的充分必要条件是他的每个面的次数都为3

欧拉公式

n-m+r = 2
n:节点数
m:面的次数,围成面的边数
r:面的个数

推论: n-m+r = k+1

G是具有k(k>=2)个连通分支的平面图

m <=3n-6是平面图的必要条件

不满足m <=3n-6是非平面图

m <= ((k-2)/k )*(n-2)是平面图的必要条件

G是连通的平面图,且每个面的次数至少为K ,n是顶点数 ,m是边数
注意:K不是度数,是面的次数

证明K5和K3,3都不是平面图 (K5是五个顶点的完全图)
K5 中 n=5,边数 m=10,若K5是平面图则每个面的次数至少大于等于3
10 <= 3/3-2 *(5-2)=9
这是个矛盾,因而K5不是平面图

K3,3作为偶图,回路的长度为偶数,且长度>3,所以回路长度至少为4,m>=4
,n=6,m是边数等于9
9 <= 4/4-2 *(6-2) = 8
矛盾,所有K3,3不是平面图

库拉图斯基定理:

1 一个图是平面图当且仅当它不含与k5同胚的子图,也不含与K3,3同胚的子图
2 一个图是平面图当且仅当它没有可以收缩到与k5同±胚的子图,也没有可以收缩到K3,3同胚的子图

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