图论算法——图的遍历

图论算法也是非常基础且重要的算法(ps：好像没有不重要的……)

图的基本应用——图的遍历，从具体的题目着手，学习图的遍历方式及代码形式。

我们先来看一下题目，然后再具体分析图的遍历方式。

 题目选自洛谷P5318

题目描述

小K 喜欢翻看洛谷博客获取知识。每篇文章可能会有若干个（也有可能没有）参考文献的链接指向别的博客文章。小K 求知欲旺盛，如果他看了某篇文章，那么他一定会去看这篇文章的参考文献（如果他之前已经看过这篇参考文献的话就不用再看它了）。

假设洛谷博客里面一共有 n(n≤105) 篇文章（编号为 1 到 n）以及 m(m≤10^6) 条参考文献引用关系。目前小 K 已经打开了编号为 1 的一篇文章，请帮助小 K 设计一种方法，使小 K 可以不重复、不遗漏的看完所有他能看到的文章。

这边是已经整理好的参考文献关系图，其中，文献 X → Y 表示文章 X 有参考文献 Y。不保证编号为 1 的文章没有被其他文章引用。

请对这个图分别进行 DFS 和 BFS，并输出遍历结果。如果有很多篇文章可以参阅，请先看编号较小的那篇(因此你可能需要先排序)。

输入格式

无

输出格式

无

输入输出样例

输入 1

8 9
1 2
1 3
1 4
2 5
2 6
3 7
4 7
4 8
7 8

输出 1

1 2 5 6 3 7 8 4 
1 2 3 4 5 6 7 8 

在之前的学习中已经接触到深度优先搜索DFS和广度优先搜索BFS。

深度优先遍历可以被看作在图中的深度优先搜索

广度优先遍历可以被看作在图中的广度优先搜索

可以比较一下，有助于更好理解和更快解题。 

相信在座的各位应该知道图是个啥玩意，应该也知道“遍历”是啥：所谓“遍历”，就是把图上的每个顶点都找一遍呗！但是要找可不能瞎找，要不会把自己找晕，咱这里就有两种“防晕”的好方法！正所谓“举例是理解的试金石”，咱就拿样例来说！

 首先看方式一

深度优先遍历

咱们可以一步一步向前去走：

从1出发，先去最小的2

然后从2出发，沿路到5

再从5出发……咦？没路了？好吧那就回去到2吧

出发点又到了2，这时候5已经到过啦，那就去6

6又没路了，好办！回到2，由于2通往的5和6都来过了，所以再回去到1，这时候1的路中2已经走过了，没走过的最前一个是3，那就在走到3

……..

就这样一步一步走过去，可以得到顺序：

1 2 5 6 3 7 8 4

这种方法就是一步一步去尝试，先从一条路走到黑，走完了就回去找另一条，总结成7个字就是“不撞南墙不回头”，有没有发现跟我们的“深度优先搜索”迷之相似？？？所以，我们叫它“图的深度优先遍历”

下面给出实例代码：(DFS版)

int n,m;
vector<int> p[100005]; //使用邻接表来存储图
bool book[100005]; //记录某个点是否被访问过
void solve(int x){
	cout<<x<<" ";
	for(int i=0,sz=p[x].size();i<sz;i++){ //邻接表的dfs方式
		if(!book[p[x][i]]){
			book[p[x][i]] = true;
			solve(p[x][i]);
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){ //邻接表的存储方式
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		p[x].push_back(y);
	}
	book[1] = true;
	solve(1);
	return 0;
}

---

然后看方式二

广度优先遍历

想用这种方法，你需要掌握一项技能——分身术

还是从1出发，咱先把能走的都走一遍，依次到达2，3.4

1的走完了，咱就从下一个没往下走的地点开始，也就是从2出发，到达5，6

2的也走完了，目前最靠前的还没往下走过的点是3，好的，从3到达7，8

然后下一个没往下“扩展”的地点是4，哇，这时候7，8都已经走过了呢，那就走完啦

所以我们可以得到顺序：

1 2 3 4 5 6 7 8

总之就是把每个没有向下走过的地方都走一遍，如果你看懂了，你可以发现这个方法和“广度优先搜索”算法很像，我们就叫它“图的广度优先遍历”

下面给出实例代码：（BFS版）

int n,m;
vector<int> p[100005]; //使用邻接表来存储图
queue<int> q; //使用BFS当然得要队列了
bool book[100005]; //记录某个点是否被访问过
void bfs(){ //邻接表的bfs方式
	book[1]=true;
	q.push(1);
	while(!q.empty()){
		int x = q.front();
		cout<<x<<" ";
		for(int i=0,sz=p[x].size();i<sz;i++){
			if(!book[p[x][i]]){
				book[p[x][i]] = true;
				q.push(p[x][i]);
			}
		}
		q.pop();
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		p[x].push_back(y); //将图保存到邻接表中
	}
	bfs();
	return 0;
}

---

两种遍历方法都讲完了，接下来咱们考虑的就只有细节问题了，首先，这个题数据范围那么大，用邻接矩阵存肯定是会爆的，那咱们就用一种新的方法。

首先，我们用一个结构体vector（为了节省空间，咱用vector来存）存储每个边的起点和终点，然后用一个二维vector（也就是一个vector数组）存储边的信息。

这个存储方法可能有点难理解，不过其实也没那么难：我们用e[a][b]=c，来表示顶点a的第b条边是c号边。咱举个栗子，还是拿样例说吧：

8 9
1 2 //0号边（由于vector的下标是从0开始的，咱就“入乡随俗”，从0开始）
1 3 //1号边
1 4 //2号边
2 5 //3号边
2 6 //4号边
3 7 //5号边
4 7 //6号边
4 8 //7号边
7 8 //8号边

最后二维vector中的存储会如下所示：

0 1 2 //1号顶点连着0、1、2号边
3 4	//2号顶点连着3、4号边
5	//3号顶点连着5号边
6 7 //4号顶点连着6、7号边
	//5号顶点没有边
	//6号顶点没有边
8	//7号顶点连着8号边
	//8号顶点没有边

看是不是对上号了？这个方法比较好懂，又节省空间，是个好方法。

别着急，我们题目还没解决呢。

回归到题目

别忘了题目要求：“如果有很多篇文章可以参阅，请先看编号较小的那篇”

那就排序呗！咱们按照题目要求，按照终点从小到大排列，如果终点相同按起点从小到大排列 注意我们说的第几号边是指排序后的序号

解题代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int MAXN = 100010;

vector<int> G[MAXN];
int n, m;
bool visited[MAXN];
queue<int> q;

void dfs(int x, int cur) {
	visited[x] = true;
	cout << x << " ";
	if (cur == n) return ;
	for (int i=0; i<(int)G[x].size(); i++)
		if (!visited[G[x][i]]) dfs(G[x][i], cur+1);
}
void bfs(int x) {
	memset(visited, false, sizeof(visited));//记得一定要清空
	visited[x] = true;
	q.push(x);
	while (!q.empty()) {
		int v = q.front();
		cout << v << " ";//输出
		for (int i=0; i<(int)G[v].size(); i++) 
			if (!visited[G[v][i]]) {
				visited[G[v][i]] = true;
				q.push(G[v][i]);
			}
		q.pop();
	}
}

int main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i=1; i<=m; i++) {
		int u, v;
		cin >> u >> v;
		G[u].push_back(v);//邻接表保存图
	}
	for (int i=1; i<=n; i++) sort(G[i].begin(), G[i].end());//标准vector排序
	dfs(1, 0);
	cout << endl;
	bfs(1);
	cout << endl;
	return 0;
}

今天的文章图论算法——图的遍历分享到此就结束了，感谢您的阅读。