DEA各种模型原理及stata代码实现

一、CCR和BCC

1.原理

CCR模型产出导向下的效率通过求解以下规划得出：
$CCR\_TE=max\theta$

$s.t.{\sum }_{k=1}^K{z}_k{y}_{km}\ge y_{km}{\theta }_m,m=1,...,M$

${\sum }_{k=1}^K{z}_k{x}_{kn}\le x_{kn},,n=1,...,N$

$z_k\ge 0$

其中，$({\sum }_{k=1}^K{z}_k{y}_{km},{\sum }_{k=1}^K{z}_k{x}_{kn})$可以理解为前沿面，$(x_{km},y_{km})$为每个决策单元（dmu）的值。

BCC模型在上述规划的约束条件中加入${\sum }_{k=1}^K{z}_k=1$.

2.效率测算stata代码

代码格式如下：

CCR模型对应规模报酬不变crs

dea inputvars = outputvars ,rts(crs) 

BCC模型对应规模报酬可变vrs

dea inputvars = outputvars ,rts(vrs) 

3.Malmquist指数

3.1M指数

Malmquist指数是效率的变化率，简单地想，如果以t期为基期，那么公式为：
$Malmquis{t}_t=\frac{D^t(x^{t+1},y^{t+1})}{D^t(x^t,y^t)}$
其中,$D^t(x^{t+1},y^{t+1})$某一个决策单元在t+1期的生产情况基于t期的前沿面计算的效率（决策单元在t+1期的生产情况可能超出t期的前沿面，因此可能无解）；

$D^t(x^t,y^t)$某一个决策单元在t期的生产情况基于t期的前沿面计算的效率，也就是正常来说的$T{E}_t$

同样的，如果以t+1期为基期，那么公式为：
$Malmquis{t}_{t+1}=\frac{D^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}{D^{t+1}(x^t,y^t)}$
基期不同值不同，为了解决这个问题，定义：

$Malmquis{t}_{t+1,t}=(Malmquis{t}_t\times Malmquis{t}_{t+1}{)}^{0.5}=M(x^{t+1},y^{t+1},x^t,y^t)$

$=[\frac{D^t(x^{t+1},y^{t+1})}{D^t(x^t,y^t)}\times \frac{D^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}{D^{t+1}(x^t,y^t)}{]}^{0.5}$

$=\frac{D^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}{D^t(x^t,y^t)}\times [\frac{D^t(x^{t+1},y^{t+1})}{D^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}\frac{D^t(x^t,y^t)}{D^{t+1}(x^t,y^t)}{]}^{0.5}$

$=TECH\times TECCH$ ——- Fare分解

其中：TECH表示效率变化，TECCH表示技术进步.

在规模报酬不变时，Fare分解完全正确，但是在规模报酬可变时，须考虑规模报酬的变化

$TFPCH=M(x^{t+1},y^{t+1},x^t,y^t)$

$=\frac{D_v^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}{D_v^t(x^t,y^t)}\times [\frac{D_c^t(x^{t+1},y^{t+1})}{D^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}\frac{D^t(x^t,y^t)}{D^{t+1}(x^t,y^t)}{]}^{0.5}\times \frac{D_c^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})/D_v^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}{D_c^t(x^t,y^t)/D_v^{t+1}(x^t,y^t)}$

$=TECH\times TECCH\times SECH$ ———–RD分解

其中，$D_c$表示按规模报酬不变计算效率，$D_v$表示按规模报酬可变计算效率，SECH表示规模变化。

3.2Global-Malmquist指数

Malmquist指数可能无解！

因此有Global Malaquist指数，思想很简单，计算一个全局效率，以他为基准，公式为：

$GM=M_c^G(x^t,y^t,x^{t+1},y^{t+1})=\frac{D_c^G(x^{t+1},y^{t+1})}{D_c^G(x^t,y^t)}$

其中，$D^G$表示基于全局前沿面的效率。$D^t$的计算方式是仅保留第t期的数据来计算效率，而$D^G$是将所有数据都保留来计算效率（不会无解）。

$M_c^G(x^t,y^t,x^{t+1},y^{t+1})$

$=\frac{D_c^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}{D_c^t(x^t,y^t)}\times \frac{D_c^G(x^{t+1},y^{t+1})}{D^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}\frac{D_c^t(x^t,y^t)}{D^G(x^t,y^t)}$

$=TECH\times BPC$

其中，TECH 是通常的效率变化指标，BPG 是最佳实践差距,表明t+1期的基准技术相较于t期是接近还是远离了全局的基准⽣产技 术。当然也可以采用RD分解，分解规模变化。

4.指数计算代码与案例

malmq2 inputvars = outputvars  ,
选项：global 计算Golbal-Malmquist指数 
​            saving()   保存

案例数据展示，其中投入为l和k，期望产出为g,非期望产出为w,s,f

先设置面板xtset

然后计算malmquist指数(l k为投入，g为产出)，fare分解

RD分解：

GM指数计算

二、SBM模型

1.原理

带有非期望产出的SBM模型:
$ph{i}^{\ast }=min\frac{1-\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(\frac{S_{io}^{-}}{X_{io}})}{1+\frac{1}{s_1+s_2}({\sum }_{r_1=1}^{s_1}\frac{S_{r_{1o}}^g}{y_{r_{1o}}^g}+{\sum }_{r_2=1}^{s_2}\frac{S_{r_{2o}}^b}{y_{r_{2o}}^b})}$
$s.t{X}_o=X\lambda +S_o^{-}(1)$
$y_o^g=Y^g\lambda -S_o^g(2)$
$y_o^b=Y^b\lambda +S_o^b(3)$
$S_o^{-},S_o^g,S_o^b,\lambda >0(4)$
其中，$(X_o,y_o^g,y_o^b)$分别表示每个决策单元的值,$(X\lambda ,y^g\lambda ,y^b\lambda )$表示前沿面。
$S_o^{-},S_o^g,S_o^b$表示松弛值，即投入或产出与前沿面的距离，也即投入比理想投入多的部分、期望产出比理想期望产出少的部分、非期望产出比理想非期望产出多的部分。${\varphi }^{\ast }$即得出的效率。

2.stata代码实现

无非期望产出

sbmeff inputvars = desirable_outputvars , dmu(varname) 

有非期望产出

sbmeff inputvars = desirable_outputvars : undesirable_outputvars  , dmu(varname) 

TE表示效率

指数计算

** sbm_t
sbmeff l k = g:w s f,dmu(cit) time(year) sav(sbm_t,replace)
** sbm_g 全局前沿
sbmeff l k = g:w s f,dmu(cit)  sav(sbm_g,replace)
merge m:m cit  using sbm_g
rename TE TE_G
drop _merge
merge 1:1 cit year using sbm_t
drop _merge
xtset dmu year
tostring year, generate(time1)
gen lyear = l.year
tostring lyear, generate(time2)
gen time = time1 + "~" +time2
gen TFPCH = TE_G / l.TE_G
gen TECH = TE/l.TE
gen BPC = TFPCH / TECH
keep if TFPCH != .
list city time TFPCH TECH BPC

三、方向性距离函数（DDF）

1.原理

$\overrightarrow{D}(x,y,b;g)=max\beta$

$s.t.{\sum }_{n=1}^N{z}_n{x}_{mn}\le x_m-\beta g_{xm},m=1,2...,M$

${\sum }_{n=1}^N{z}_n{y}_{sn}\ge y_s+\beta g_{ys},s=1,2...,S$

${\sum }_{n=1}^N{z}_n{b}_{jn}=b_j-\beta g_{bj},j=1,2...,J$

$z_n\ge 0,\beta >0,n=1,2...,N$

其中,$g$为投⼊和产出的缩放的⽅向向量，$\beta$为无效率值。

2.stata代码实现

ddfeff l k = g:w s f,dmu(cit) time(year) sav(ddf,)
merge 1:1 cit year using ddf
gen TE = 1-Dval
list year city  Dval TE

3.非径向DDF模型（NDDF）

$\overrightarrow{ND}(x,y,b;g)=max(w_m^x{\beta }_s^y+w_s^t{\beta }_s^y+w_j^b{\beta }_j^b)$

$s.t.{\sum }_{n=1}^N{z}_n{x}_{mn}\le x_m-{\beta }_m^s{g}_{xm},m=1,2...,M$

${\sum }_{n=1}^N{z}_n{y}_{sn}\ge y_s+{\beta }_s^y{g}_{ys},s=1,2...,S$

${\sum }_{n=1}^N{z}_n{b}_{jn}=b_j-{\beta }_j^b{g}_{bj},j=1,2...,J$

$z_n\ge 0,\beta >0,n=1,2...,N$

NDDF模型对比DDF只是让投入产出的无效率系数变为不同。

NDDF模型代码实现

由于结果给出了所有方向的$\beta$,也可以按照自己的方法计算TE（自己定义的公式）.比如：

$TE=\frac{1-0.2(B\_l+B\_k+B\_w+B\_s+B\_f)}{1+B_g}$

其内涵为每种因素的平均效率。

3.GML指数

计算完效率之后可以计算效率的变化率Global-Malmquist-Luenberger指数。

由于已被证明：

$\overrightarrow{D}(x,y,b;g)=\frac{1}{1+D(x,y,b)}$

因此有Malmquist-Luenberger指数：

$ML=\frac{D^t(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1};g^{t+1})\times D^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1};g^{t+1})}{D^t(x^t,y^t,b^t;g^t)\times D^{t+1}(x^t,y^t,b^t;g^t)}$

$=[\frac{1+\overrightarrow{D^t}(x^t,y^t,b^t)}{1+\overrightarrow{D^t}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})}\times \frac{1+\overrightarrow{D^{t+1}}(x^t,y^t,b^t)}{1+\overrightarrow{D^{t+1}}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})}{]}^{0.5}$

和GML指数

$GML=\frac{D^G(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})}{D^G(x^t,y^t,b^t)}=\frac{1+\overrightarrow{D^G}(x^t,y^t,b^t)}{1+\overrightarrow{D^G}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})}$

$=\frac{1+\overrightarrow{D^t}(x^t,y^t,b^t)}{1+\overrightarrow{D^{+}1}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})}\times \frac{(1+\overrightarrow{D^G}(x^t,y^t,b^t))/(1+\overrightarrow{D^t}(x^t,y^t,b^t))}{(1+\overrightarrow{D^G}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1}))/(1+\overrightarrow{D^{+}1}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1}))}$

$=TECH\times BPC$

4.指数测算

ML指数

存在大量缺失值，使用gml指数

四、总结

上述包含了 dea、malmq2、ddfeff等命令，可能需要高版本stata，stata16最好。如果缺少了命令，可通过 ssc install XX （XX为命令名称）下载，网络不好可能下载失败。也可使用其他人下载好的命令，推荐 连玉君老师的plus文件。
文中相关数据和资源：
链接：https://pan.baidu.com/s/15wMpDovYiqG-LI74Z_NhPQ
提取码：em4g
最后，在肝论文的小伙伴，都帮你们到这了，不点个大大的赞吗！！

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