参考资料:维基的哈密顿-雅克比-贝尔曼方程条目。有条件的同学可以自行查看,效果比本文要好一些。文末也会给出相关更深入的资料供大家学习。
作为强化学习的一个基础思想,HJB方程从大框架概述了控制优化的方向。这里对其推导与应用进行简述。
定义如下变量:为过程价值函数,其中S(t)为在t时刻的状态函数,A(t)为在t时刻的动作函数。
为在t时刻状态为S(t)的终点值函数。
我们可以定义如下过程:在[0,T]时间段,最终值函数的表现形式如下:
而我们的优化目标就是保证右端公式的最小化。
HJB偏微分形式推导:
考虑如下表达形式:
对右端的进行泰勒展开,可得到以下形式:
与上式联立可消去,然后去除dt,可得如下优化形式:
JCB方程微分形式推导得证。
如何求解:
一般采用逆向归纳法,即从t=T推导至t=0,利用动态规划的思想求解。
HJB方程相关资料:
链接:https://pan.baidu.com/s/1pBom-F4cLqHVA3_u3XSOyA?pwd=4s5e
提取码:4s5e
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