二维数组
一、二维数组的定义
当一维数组元素的类型也是一维数组时，便构成了“数组的数组”，即二维数组。二维数组定义的一般格式：
数据类型 数组名[常量表达式1] [常量表达式2] ；
例如：int a[4][10];
a数组实质上是一个有4行、10列的表格，表格中可储存40个元素。第1行第1列对应a数组的a[0][0]，第n行第m列对应数组元素a[n-1][m-1]。
说明：当定义的数组下标有多个时，我们称为多维数组，下标的个数并不局限在一个或二个，可以任意多个，如定义一个三维数组a和四维数组b：
int a[100][3][5];
int b[100][100][3][5];
多维的数组引用赋值等操作与二维数组类似。
二、二维数组元素的引用
二维数组的数组元素引用与一维数组元素引用类似，区别在于二维数组元素的引用必须给出两个下标。
引用的格式为：
<数组名>[下标1][下标2]
说明：显然，每个下标表达式取值不应超出下标所指定的范围，否则会导致致命的越界错误。
例如,设有定义：int a[3][5];
则表示a是二维数组（相当于一个3*5的表格），共有3*5=15个元素，它们是：
a[0][0] a[0][1] a[0][2] a[0][3] a[0][4]
a[1][0] a[1][1] a[1][2] a[1][3] a[1][4]
a[2][0] a[2][1] a[2][2] a[2][3] a[2][4]
因此可以看成一个矩阵（表格），a[2][3]即表示第3行第4列的元素。
三、二维数组的初始化
二维数组的初始化和一维数组类似。可以将每一行分开来写在各自的括号里，也可以把所有数据写在一个括号里。
例如：
int direct[4][2] = {{1,0},{0,1},{-1,0},{0,-1}}
int direct[4][2] = {1,0,0,1,-1,0,0,-1} //尽量不要用
四、二维数组程序设计
例5.8 设有一程序
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<iomanip>
const int n=3;
using namespace std;
int a[n+1][n+1];
int main()
{
for (int i=1; i<=n; ++i)
{
for (int j=1; j<=n; ++j)
cin>>a[i][j];
}
for (int i=1; i<=n; ++i)
{
for (int j=1; j<=n; ++j)
cout<<setw(5)<<a[j][i];
cout<<endl;
}
return 0;
}
程序的输入:
2 1 3
3 3 1
1 2 1
程序的输出:
2 3 1
1 3 2
3 1 1
例5.9 已知一个6*6的矩阵（方阵），把矩阵二条对角线上的元素值加上10，然后输出这个新矩阵。
【分析】 矩阵即表格，是一个二维数组，有6行6列共36个元素，每个矩阵都有二条对角线，本题难点在于对角线的元素怎么确定。
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int a[7][7];
int main()
{
for (int i=1; i<=6; ++i) //输入矩阵元素
for (int j=1; j<=6; ++j)
cin>>a[i][j];
for (int i=1; i<=6; ++i) //更改对角线上元素的值
for (int j=1; j<=6; ++j)
if ((i==j)||(i+j==7)) a[i][j]+=10; //寻找对角线的特征
for (int i=1; i<=6; ++i) //输出6行6列的矩阵元素
{
for (int j=1; j<=6; ++j)
cout<<setw(5)<<a[i][j];
cout<<endl;
}
return 0;
}
例5.10 大部分元素是0的矩阵称为稀疏矩阵，假设有k个非0元素，则可把稀疏矩阵用K*3的矩阵简记之，其中第一列是行号，第二列是列号，第三列是该行、该列下的非0元素的值。如：
0 0 0 5 写简记成： 1 4 5 //第1行第4列有个数是5
0 2 0 0 2 2 2 //第2行第2列有个数是2
0 1 0 0 3 2 1 //第3行第2列有个数是1
试编程读入一稀疏矩阵，转换成简记形式，并输出。
【分析】 本题中需要解决的主要问题是查找非零元素并记忆位置。将原始矩阵存于数组a。转换后的矩阵存于数组b，当然b数组的行数可以控制在一个小范围内。
#include<iostream>
#include<iomanip>
const int n=3,m=5;
using namespace std;
int main()
{
int a[n+1][m+1],b[101][4],k=0;
for (int i=1; i<=n; ++i) //矩阵初始
for (int j=1; j<=m; ++j)
cin>>a[i][j];
for (int i=1; i<=n; ++i)
for (int j=1; j<=m; ++j)
if (a[i][j]!=0) //找到非零值，存储
{
++k;
b[k][1]=i;
b[k][2]=j;
b[k][3]=a[i][j];
}
for (int i=1; i<=k; ++i) //输出
{
for (int j=1; j<=3; ++j)
cout<<setw(3)<<b[i][j];
cout<<endl;
}
return 0;
}
运行结果：
输入： 0 0 0 0 5
0 0 4 0 0
1 0 0 0 1
输出： 1 5 5
2 3 4
3 1 1
3 5 1
例5.11 打印杨辉三角形的前10行。杨辉三角形如下图：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
[图5-1]
【问题分析】观察图5-1，大家不容易找到规律，但是如果将它转化为图5-2，不难发现杨辉三角形其实就是一个二维表的小三角形部分，假设通过二维数组yh存储，每行首尾元素为1，且其中任意一个非首位元素yh[i][j]的值其实就是yh[i-1][j-1]与yh[i-1][j]的和，另外每一行的元素个数刚好等于行数。有了数组元素的值，要打印杨辉三角形，只需要控制好输出起始位置就行了。
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int main()
{
int a[11][11];
a[1][1]=1; //设定第一行的值
for (int i=2; i<=10; ++i) //从第二行开始推
a[i][1]=1; a[i][i]=1; //设定每一行的首尾值为1
for (int j=2; j<=i-1; ++j) //当前行非首尾的数
a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j]; //每个数等于上一行的二个数之和
}
for (int i=1; i<=10; i++)
{
if (i!=10) cout<<setw(30-3*i)<<" "; //控制每行的起始位置，即空格数量
for (int j=1; j<=i; j++) cout<<setw(6)<<a[i][j];
cout<<endl;
}
return 0;
}
例5.12 输入一串字符,字符个数不超过100,且以“.”结束。 判断它们是否构成回文。
【分析】所谓回文指从左到右和从右到左读一串字符的值是一样的，如12321,ABCBA,AA等。先读入要判断的一串字符（放入数组letter中），并记住这串字符的长度，然后首尾字符比较，并不断向中间靠拢，就可以判断出是否为回文。
程序如下：
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{ char ch,letter[101];
int i=0,j=1;
cout<<"Input a string:";
cin>>ch;
while (ch!='.') //读入一个字符串以'.'号结束
{
++i;
letter[i]=ch;
cin>>ch;
}
while ((j<i)&&(letter[j]==letter[i])) //判断它是否是回文
{
--i; ++j;
}
if (j>=i) cout<<"Yes"<<endl;
else cout<<"No"<<endl;
return 0;
}
例5.13 蛇形填数
在n*n方阵里填入1,2,3,…,n*n，要求填成蛇形。例如n=4时方阵为：
10 11 12 1
9 16 13 2
8 15 14 3
7 6 5 4
上面的方阵中，多余的空格只是为了便于观察规律，不必严格输出，n<=8。
【分析】：
类比数学中的矩阵，我们可以用一个所谓的二维数组来储存题目中的方阵。只需声明一个int a[MAXN][MAXN]，就可以获得一个大小为MAXN×MAXN的方阵。在声明时，两维的大小不必相同，因此也可以声明int a[30][50]这样的数组，第一维下标范围是0,1,2,…,29，第二维下标范围是0,1,2,…,49。
让我们从1开始依次填写。设“笔”的坐标为(x,y)，则一开始x=0，y=n-1，即第0行，第n-1列（别忘了行列的范围是0到n-1，没有第n列）。“笔”的移动轨迹是：下，下，下，左，左，左，上，上，上，右，右，下，下，左，上。总之，先是下，到不能填了为止，然后是左，接着是上，最后是右。“不能填”是指再走就出界（例如4→5），或者再走就要走到以前填过的格子（例如12→13）。如果我们把所有格子初始为0，就能很方便地加以判断。
二维数组
例5.13 蛇形填数
在n*n方阵里填入1,2,3,…,n*n，要求填成蛇形。例如n=4时方阵为：
10 11 12 1
9 16 13 2
8 15 14 3
7 6 5 4
上面的方阵中，多余的空格只是为了便于观察规律，不必严格输出，n<=8。
【分析】：
类比数学中的矩阵，我们可以用一个所谓的二维数组来储存题目中的方阵。只需声明一个int a[MAXN][MAXN]，就可以获得一个大小为MAXN×MAXN的方阵。在声明时，两维的大小不必相同，因此也可以声明int a[30][50]这样的数组，第一维下标范围是0,1,2,…,29，第二维下标范围是0,1,2,…,49。
让我们从1开始依次填写。设“笔”的坐标为(x,y)，则一开始x=0，y=n-1，即第0行，第n-1列（别忘了行列的范围是0到n-1，没有第n列）。“笔”的移动轨迹是：下，下，下，左，左，左，上，上，上，右，右，下，下，左，上。总之，先是下，到不能填了为止，然后是左，接着是上，最后是右。“不能填”是指再走就出界（例如4→5），或者再走就要走到以前填过的格子（例如12→13）。如果我们把所有格子初始为0，就能很方便地加以判断。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 10
int a[MAXN][MAXN];
int main()
{
int n,x,y,tot=0;
scanf("%d",&n);
memset(a,0,sizeof(a));
tot=a[x=0][y=n-1]=1;
while (tot<n*n)
{
while (x+1<n && !a[x+1][y]) a[++x][y]=++tot;
while (y-1>=0 && !a[x][y-1]) a[x][--y]=++tot;
while (x-1>=0 && !a[x-1][y]) a[--x][y]=++tot;
while (y+1<n && !a[x][y+1]) a[x][++y]=++tot;
}
for(x=0;x<n;++x)
{
for (y=0;y<n;++y) printf("%3d",a[x][y]);
printf("\n");
}
return 0;
}
【说明】：
这段程序充分利用了C++语言简洁的优势。首先，赋值x=0和y=n-1后马上要把它们作为a数组的下标，因此可以合并完成；tot和a[0][n-1]都要赋值1，也可以合并完成。这样，我们用一条语句完成了多件事情，而且并没有牺牲程序的可读性，这段代码的含义显而易见。
那4条while语句有些难懂，不过十分相似，因此只需介绍其中的第一条：不断向下走，并且填数。我们的原则是：先判断，再移动，而不是走一步以后发现越界了再退回来。这样，我们需要进行“预判”，即是否越界，以及如果继续往下走会不会到达一个已经填过的格子。越界只需判断x+1<n，因为y值并没有修改；下一个格子是(x+1,y)，因此只需a[x+1][y]==0，简写成!a[x+1][y]（其中!是“逻辑非”运算符）。
细心的读者也许会发现这里的一个“潜在bug”；如果越界，x+1会等于n，a[x+1][y]将访问非法内存！幸运的是，这样的担心是不必要的。&&是短路运算符。如果x+1<n为假，将不会计算!a[x+1][y]，也就不会越界了。
至于为什么是++tot而不是tot++，留给读者思考。
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