PID算法_pid算法公式[通俗易懂]

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转载：木南创智博客：https://www.cnblogs.com/foxclever/

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01:基本PID

1.1、PID算法基本原理

PID算法是控制行业最经典、最简单、而又最能体现反馈控制思想的算法。对于一般的研发人员来说，设计和实现PID算法是完成自动控制系统的基本要求。这一算法虽然简单，但真正要实现好，却也需要下一定功夫。首先我们从PID算法最基本的原理开始分析和设计这一经典命题。

PID算法的执行流程是非常简单的，即利用反馈来检测偏差信号，并通过偏差信号来控制被控量。而控制器本身就是比例、积分、微分三个环节的加和。其功能框图如下：

 

根据上图我们考虑在某个特定的时刻t，此时输入量为rin(t)，输出量为rout(t)，于是偏差就可计算为err(t)=rin(t)-rout(t)。于是PID的基本控制规律就可以表示为如下公式：

 

其中Kp为比例带，T_I为积分时间，T_D为微分时间。PID控制的基本原理就是如此。

1.2、PID算法的离散化

上一节简单介绍了PID算法的基本原理，但要在计算机上实现就必须将其离散化，接下来我们就说一说PID算法的离散化问题。在实现离散化之前，我们需要对比例、积分、微分的特性做一个简单的说明。

比例就是用来对系统的偏差进行反应，所以只要存在偏差，比例就会起作用。积分主要是用来消除静差，所谓静差就是指系统稳定后输入输出之间依然存在的差值，而积分就是通过偏差的累计来抵消系统的静差。而微分则是对偏差的变化趋势做出反应，根据偏差的变化趋势实现超前调节，提高反应速度。

1.2.1.位置式PID

　　在实现离散前，我们假设系统采样周期为T。假设我们检查第K个采样周期，很显然系统进行第K次采样。此时的偏差可以表示为err(K)=rin(K)-rout(K)，那么积分就可以表示为：err(K)+ err(K+1)+┈┈，而微分就可以表示为：(err(K)- err(K-1))/T。于是我们可以将第K次采样时，PID算法的离线形式表示为：

 

也可以记为：

 

这就是所谓的位置型PID算法的离散描述公式。我们知道还有一个增量型PID算法，那么接下来我们推到一下增量型PID算法的公式。

1.2.2.增量型PID

上面的公式描述了第k个采样周期的结果，那么前一时刻也就是k-1个采样周期就不难表示为：

 

那么我们再来说第K个采样周期的增量，很显然就是U(k)-U(k-1)。于是我们用第k个采样周期公式减去第k-1个采样周期的公式，就得到了增量型PID算法的表示公式：

 

当然，增量型PID必须记得一点，就是在记住U(k)=U(k-1)+∆U(k)。

1.3、基本特点

前面讲述并且实现了PID控制器，包括位置型PID控制器和增量型PID控制器。界限来我们对这两种类型的控制器的特点作一个简单的描述。

位置型PID控制器的基本特点：

• 位置型PID控制的输出与整个过去的状态有关，用到了偏差的累加值，容易产生累积偏差。
• 位置型PID适用于执行机构不带积分部件的对象。
• 位置型的输出直接对应对象的输出，对系统的影响比较大。

增量型PID控制器的基本特点：

• 增量型PID算法不需要做累加，控制量增量的确定仅与最近几次偏差值有关，计算偏差的影响较小。
• 增量型PID算法得出的是控制量的增量，对系统的影响相对较小。
• 采用增量型PID算法易于实现手动到自动的无扰动切换。

2.改进型PID: 针对积分项的积分分离优化算法

2.1、基本思想

　　我们已经讲述了PID控制引入积分主要是为了消除静差，提高控制精度。但在过程的启动、结束或大幅度增减设定值时，短时间内系统输出有很大偏差，会造成PID运算的积分累积，引起超调或者振荡。为了解决这一干扰，人们引入了积分分离的思想。其思路是偏差值较大时，取消积分作用，以免于超调量增大；而偏差值较小时，引入积分作用，以便消除静差，提高控制精度。

具体的实现步骤是：根据实际情况，设定一个阈值；当偏差大于阈值时，消除积分仅用PD控制；当偏差小于等于阈值时，引入积分采用PID控制。则控制算法可表示为：

 

其中β称为积分开关系数，其取值范围为：

 

由上述表述及公式我们可以知道，积分分离算法的效果其实与ε值的选取有莫大关系，所以ε值的选取实际上是实现的难点，ε值过大则达不到积分分离的效果，而ε值过小则难以进入积分区，ε值的选取存在很大的主观因素。

对于经典的增量式PID算法，似乎没有办法由以上的公式推导而来，因为β随着err(k)的变化在不是修改着控制器的表达式。其实我们可以换一种角度考虑，每次系统调节未定后，偏差应该为零，然后只有当设定值改变时，系统才会响应而开始调节。设定值的改变实际上是一个阶跃变化，此时的控制输出记为U₀，开始调节时，其调节增量其实与之前的一切没有关系。所以我们就可以以变化时刻开始为起点，而得到带积分分离的增量算法，以保证在启动、停止和快速变化时防止超调。公式如下：

 

其中β的取值与位置型PID算法一致。可能有人会担心偏差来回变化，造成积分作用的频繁分离和引入，进而使上述的增量表达式无法实现。其实我们分析一下就能发现，在开始时，由于设定值变化引起的偏差大而分离了积分作用，在接近设定值时，偏差变小就引入了积分，一边消除静差，而后处于稳态，直到下一次变化。

2、算法实现

这一部分，我们根据前面对其基本思想的描述，来实现基于积分分离的PID算法实现，同样是包括位置型和增量型两种实现方式。首先我们来看一下算法的实现过程，具体的流程图如下：

 

有上图我们知道，与普通的PID算法的区别，只是判断偏差的大小，偏差大时，为PD算法，偏差小时为PID算法。

3、总结

　　积分分离算法的思想非常简单。当然，对于β的取值，很多人提出了改进措施，例如分多段取值，设定多个阈值ε₁、ε₂、ε₃、ε₄等，不过这些阈值也需要根据实际的系统来设定。除了分段取值外，甚至也有采用函数关系来获取β值。当然，这样处理后就不再是简单的积分分离了，特别是在增量型算法中，实际上已经演变为一种变积分算法了。已经偏离了积分分离算法的设计思想，在后面我们会进一步说明。

3.改进型PID : 抗积分饱和的PID算法

1、抗积分饱和的基本思想

所谓积分饱和就是指系统存在一个方向的偏差，PID控制器的输出由于积分作用的不断累加而扩大，从而导致控制器输出不断增大，执行机构达到极限位置，超出正常范围进入饱和区。当系统出现反响的偏差时，需要首先从饱和区退出，而不能对反向的偏差进行快速的响应。这时系统就像失控一样， 造成控制性能恶化， 这种现象称为积分饱和现象或积分失控现象。

为了解决积分饱和的问题，人们引入了抗积分饱和的PID算法。所谓抗积分饱和算法，其思路是在计算U(k)的时候，先判断上一时刻的控制量U(k-1)是否已经超出了限制范围。若U(k-1)>Umax，则只累加负偏差；若U(k-1)<Umin，则只累加正偏差。从而避免控制量长时间停留在饱和区。

2、算法实现

抗积分饱和的思想很简单，解释在控制器输出的最大最小值附近限制积分的累积情况，以防止在恢复时没有响应。根据前面得分系我们可以得到如下的流程图：

3、总结

所谓抗积分饱和就是防止由于长期存在一个方向的偏差而对相反方向的偏差迟滞响应。本文的方法是在达到极值后将不再对这一方向的偏差做出反应相反只对另一方向的偏差做出反应。事实上由于偏差的存在有可能造成输出值超限的情况，所以还需要对输出值作出限制。

04.改进型PID: 梯形积分PID算法

　　从微积分的基本原理看，积分的实现是在无限细分的情况下进行的矩形加和计算。但是在离散状态下，时间间隔已经足够大，矩形积分在某些时候显得精度要低了一些，于是梯形积分被提出来以提升积分精度。

1、梯形积分基本思路

　　在PID控制其中，积分项的作用是消除余差，为了尽量减小余差，应提高积分项的运算精度。在积分项中，默认是按矩形方式来计算积分，将矩形积分改为梯形积分可以提高运算精度。其计算公式为：

 

于是如果在位置型PID算法中引入梯形积分则可以修改计算公式如下：

 

同样要在增量型PID算法中引入梯形积分则可以修改计算公式如下：

 

2、算法实现

从微积分的角度来说，当积分时间到无限小时，矩形积分与梯形积分是没有区别的。但事实上我们的采样时间不可能无限小，而且也不可能是连续的，那么采样周期越大，那么矩形近似于实际曲线间的偏差就越大，而梯形积分则可以更加接近实际曲线，所以采用梯形积分代替矩形积分就可以得到更高的精度。

3、总结

积分项的引入目的就是为了消除系统的余差，那么积分项的计算精度越高，对消除系统的余差就越有利。梯形积分相较于矩形积分其精度有比较大的提高，所以对消除余差也就越有效。

05.改进型PID: 变积分PID算法

　　在普通的PID控制算法中，由于积分系数Ki是常数，所以在整个控制过程中，积分增量是不变的。然而，系统对于积分项的要求是，系统偏差大时，积分作用应该减弱甚至是全无，而在偏差小时，则应该加强。积分系数取大了会产生超调，甚至积分饱和，取小了又不能短时间内消除静差。因此，如何根据系统的偏差大小改变积分速度，对提高系统的品质是有必要的。变积分PID算法正好可以满足这一要求。

1、变积分的基本思想

　　变积分PID的基本思想是设法改变积分项的累加速度，使其与偏差大小相对应：偏差越大，积分越慢; 偏差越小，积分越快。设定系数为f(err(k))，它是err(k)的函数。当|err(k)|增大时，f减小，反之增大。变积分的PID积分项表达式为：

 

　　其中f(err(k))与|err(k)|的函数关系可根据具体情况设定，可以是线性的也可以是非线性的，通常比较简单的设置如下：

 

　　由以上公式可知，f(err(k))的值在[0,1]区间变化，当偏差值|err(k)|大于分离区间A+B时，不对当前偏差err(k)进行累加；当偏差值|err(k)|小于B时，加入当前偏差err(k)进行累加；介于B和A+B的区间时，按一定函数关系随err(k)变化。于是变积分PID算法可以表示为：

 

　　上述的f(err(k))函数只是我们列举的一种，事实上可以采取任何可行的方式，甚至是非线性函数，只要更符合控制对象的特性。

　　对于用增量型PID算法的变积分表示如下：

 

　　看到这个公式，很多人可能会发觉与前面的积分分离算法的公式很象。特别是在增量型算法中，它们的形式确实是一样的，但表达的意思确是有一定区别，那么我们来看看有什么不同呢？在后面我们再作总结。

2、算法实现

　　变积分实际上是通过对偏差的判断，让积分以不同的速度累计。这一系数介于0-1之间，可以通过多种方式实现，在这里我们按线性方式实现。变积分的控制流程图如下：

 

3、总结

　　变积分实际上有一定的专家经验在里面，因为限值的选取以及采用什么样的函数计算系数，有很大的灵活性。

我们在前面做了积分分离的算法，这次又说了变积分的算法。他们有相通的地方，也有不同的地方，下面对他们进行一些说明。

首先这两种算法的设计思想是有区别的。积分分离的思想是偏差较大时，取消积分；而偏差较小时引入积分。变积分的实现是想是设法改变积分项的累加速度，偏差大时减弱积分；而偏差小时强化积分。有些所谓改进型的积分分离算法实际已经脱离了积分分离的基本思想，而是动态改变积分系数。就这一点而言，特别是在增量型算法中，已经属于变积分的思想了。

　　其次，对于积分分离来说，该操作是针对整个积分项操作，这一点在位置型PID算法中，表现的尤为明显。而对于变积分来说，是针对当前偏差的积分累计，就是说只影响当前这次的积分部分。再者，具体的实现方式也存在区别，特别是在位置型PID方式下尤为明显。

　　我们在这里讨论它们的区别原因，佷显然就是我们没办法同时采用这两种优化方式，只能分别实现，在后面我们将实现基于积分项的优化。

　从PID控制的基本原理我们知道，微分信号的引入可改善系统的动态特性，但也存在一个问题，那就是容易引进高频干扰，在偏差扰动突变时尤其显出微分项的不足。为了解决这个问题人们引入低通滤波方式来解决这一问题。

06.改进型PID: 不完全微分PID算法

1、不完全微分的基本思想

　　微分项有引入高频干扰的风险，但若在控制算法中加入低通滤波器，则可使系统性能得到改善。方法之一就是在PID算法中加入一个一阶低通滤波器。这就是所谓的不完全微分，其结构图如下：

 

或者是另一种形式：

 

在这里我们考虑第一种结构形式。在这种情况下，微分与一阶惯性环节结合，其微分部分的计算公式可表示如下：

 

其中α的取值在0和1之间，有滤波常数和采样周期确定。据此我们将其增量化，则可以得到为不完全微分的增量计算公式：

 

或者表示为：

 

这两种表示方式是等价的，第二种表示法与我们的完全微分PID算法增量型式表示更接近，好理解。而且与位置型的表示法也更为一致，所以我们选择第二种表示法。

2、算法实现

经过前面的分析及公式推导，我们想要实现不完全微分其实已经相当容易了。为了便于理解，我们保持比例和积分为基本的格式，只对微分部分采用不完全微分算法。

3、总结

　　不完全微分方式在微分环节采用了低通滤波有效地提高了微分项的特性。其中α的取值是一个0~1之间的数。两个极限值，在0时其实就是没有滤波的普通微分环节；而取1时，则没有微分作用。所以α的取值对不完全微分的效果是至关重要的，一般要根据被控对象的特性来确定。

　前面已经实现了各种的PID算法，然而在某些给定值频繁且大幅变化的场合，微分项常常会引起系统的振荡。为了适应这种给定值频繁变化的场合，人们设计了微分先行算法。

07.改进型PID: 微分先行PID算法。

1、微分先行算法的思想

　　微分先行PID控制是只对输出量进行微分，而对给定指令不起微分作用，因此它适合于给定指令频繁升降的场合，可以避免指令的改变导致超调过大。微分先行的基本结构图：

 

　　根据上面的结构图，我们可以推出PID控制器的输出公式，比例和积分是不变的只是微分部分变为只对对象输出积分，记为y，我们对微分部分引入一阶惯性滤波：，可记微分部分的传递函数如下：

 

　　于是微分部分可以推导出如下的公式：

 

　　前面我们在推导PID的公式时曾规定：Kd=Kp*Td/T，于是我们将其带入公式可得：

 

　　于是我们就可以得到微分先行的离散化公式：

 

　　这即是位置型PID的计算公式了，我们也可以使用前面的方法推导增量型的计算公式如下：

 

 

　　从上面的公式我们发现，微分部分只与测量值有关，而且与连续的几个测量值都有关。而与设定值没有关系，设定值的阶跃变化不会造成高频的干扰。

2、算法实现

　　前面我们已经简单的介绍了微分现行的基本结构，也推导了位置型以及增量型公式，接下来我们根据前面对其基本思想的描述，来实现基于微分先行的PID算法实现，同样是包括位置型和增量型两种实现方式。

 3、总结

　　我所理解的就是PI对偏差作用，D只对输出起作用，微分先行由于微分部分只对测量值起作用所以可以消除设定值突变的影响，还可以引入低通滤波，甚至在必要时将比例作用也可进行相应的改进。其实用于设定值会频繁改变的过程对象，防止设定值的频繁波动造成系统的不稳定。该控制对于改善系统的动态特性是有好处的，但势必影响响应的速度，需全面考虑。

08.改进型PID: 考虑死区PID算法

　在计算机控制系统中，由于系统特性和计算精度等问题，致使系统偏差总是存在，系统总是频繁动作不能稳定。为了解决这种情况，我们可以引入带死区的PID算法。

1、带死区PID的基本思想

　　带死区的PID控制算法就是检测偏差值，若是偏差值达到一定程度，就进行调节。若是偏差值较小，就认为没有偏差。用公式表示如下：

 

　　其中的死区值得选择需要根据具体对象认真考虑，因为该值太小就起不到作用，该值选取过大则可能造成大滞后。

　　带死区的PID算法，对无论位置型还是增量型的表达式没有影响，不过它是一个非线性系统。

　　除以上描述之外还有一个问题，在零点附近时，若偏差很小，进入死去后，偏差置0会造成积分消失，如是系统存在静差将不能消除，所以需要人为处理这一点。

2、算法实现

　　前面我们描述了带死区的PID控制的基本思想。在接下来我们来实现这一思想，同样是按位置型和增量型来分别实现。

3、总结

　　引入死区的主要目的是消除稳定点附近的波动，由于测量值的测量精度和干扰的影响，实际系统中测量值不会真正稳定在某一个具体的值，而与设定值之间总会存在偏差，而这一偏差并不是系统真实控制过程的反应，所以引入死区就能较好的消除这一点。

　　当然，死区的大小对系统的影响是不同的。太小可能达不到预期的效果，而太大则可能对系统的正常变化造成严重滞后，需要根据具体的系统对象来设定。

09.改进型PID: 引入前馈补偿PID算法。

　对于一般的时滞系统来说，设定值的变动会产生较大的滞后才能反映在被控变量上，从而产生合理的调节。而前馈控制系统是根据扰动或给定值的变化按补偿原理来工作的控制系统，其特点是当扰动产生后，被控变量还未变化以前，根据扰动作用的大小进行控制，以补偿扰动作用对被控变量的影响。前馈控制系统运用得当，可以使被控变量的扰动消灭在萌芽之中，使被控变量不会因扰动作用或给定值变化而产生偏差，它较之反馈控制能更加及时地进行控制，并且不受系统滞后的影响。

1、前馈控制基本思想

　　在高精度伺服控制中，前馈控制可用来提高系统的跟踪性能。经典控制理论中的前馈控制设计是基于复合控制思想的，当闭环系统为连续系统时，使前馈环节与闭环系统的传递函数之积为1，从而实现输出完全复现输入。其系统结构图如下：

 

　　从上图中，我们可以发现前馈环节的传递函数是被控对象的倒数。那么就是在使用前馈控制前我们需要对被控对象的模型有了解，才能有针对性的设计出合适的前馈控制器。也就说，每个系统的前馈控制器都是不一样的，每个前馈控制器都是专用的。

　　要实施前馈控制，首先我们必须得到被控系统的近似模型，这个模型越接近真实的系统，控制的效果就越明显。在这里我们假定一个被控对向的模型为：

 

　　那么前馈控制器是被控对象的倒数，于是我们可以推导出前馈控制器的输入输出表达式为：

 

　　我们将其离散化，就可以得到我们想要实现的前馈控制器的输出公式。前馈控制器的输入是设定值，所以表示如下：

 

2、算法实现

　　经过上面的分析我们可以实现一个前馈控制器，前馈控制器的输出与设定值当前值、前一拍的值以及前两拍的只有关。也就是说如果设定值长时间不变化，该前馈控制器是不起作用的。当然每一个前馈控制器都是不一样的。

3、总结

　　前馈控制器是一种补偿控制，或者说模型控制，其特点就是必须能得到被控对象的精确模型或者近似模型才能起到较好的控制效果。对于时滞系统的模型控制有很多方法，前馈控制是其中比较简单和应用较广的算法。

　　系统中存在频率高、幅度大、可测量而不可控的扰动时，可选用前馈控制。当控制系统控制通道滞后时间长、反馈控制又不能获得良好效果时，可选用前馈控制。

10.改进型PID: 步进式PID算法

　　对于一般的PID控制系统来说，当设定值发生较大的突变时，很容易产生超调而使系统不稳定。为了解决这种阶跃变化造成的不利影响，人们发明了步进式PID控制算法。

1、步进式PID的基本思想

　　所谓步进式PID算法，实际就是在设定值发生阶跃变化时，不直接对阶跃信号进行响应，而是在一定的时间内逐步改变设定值，直至使设定值达到目标值。这种逐步改变设定值的办法使得对象运行平稳。适用于高精度伺服系统的位置跟踪。

　　佷显然，这一方法并未改变PID控制器本身，而是对设定值做了前期处理。所以其结构框图与控制方程与其他的PID控制算法是一致的。

　　为了对设定值做必要处理，以使其不知快速变化，有多种方法。比较常用的是建立线性变化函数的办法。我们可以规定设定值从0-100%的变化时间为T，则可以确定设定值变化的斜率绝对值，或者说是步长。知道补偿后，我们就可以根据不常来不断修改设定值，直到目标值。可用公式描述为：

 

　　其中SPt为设定值目标值，SPs为设定值的起始值，sl为步长，k为步长的变化系数：

 

　　而控制器本身的位置型和增量型表达式都保持不变。

2、算法实现

　　步进式PID的实质是将设定值的突变修改为平缓的变化，这一处理方式在控制中有大量应用。处理设定值变化过程的流程如下所示：

 

3、总结

　　所谓步进式实质是对设定值进行平缓变化处理，防止因为设定值的跳变而引起系统的波动。这一办法虽然能够减少阶跃跳变的干扰，但也会让系统的响应速度变慢，当然这要根据需要来处理，因为步长的选择决定了作用大小，补偿越小约平缓，相应的响应速度也越慢。

 

11.专家PID算法

专家PID算法是专家系统与PID算法的结合与应用优化，所以我们接下来先简单了解专家控制。

1、专家控制的基本思想

　　专家控制是智能控制的一个分支，是专家系统的理论和技术同控制理论、方法与技术相结合，在无对象模型的情况下，模仿领域专家的经验来实现对被控对象的控制。

　　专家控制一般由知识库和推理机构构成主体框架，按照某种策略及时选用恰当的规则进行推理输出，实现控制。其基本结构如下：

 

　　有上图我们不难发现影响专家控制器控制精确性的主要是知识库表达的准确性以及推理机的正确性。知识库越完备、越准确那么对你被控对像的状态识别也就越准确。当然，推理机设计的差别也会对控制结果有影响。

　　专家控制器一般来说分为2中实现形式，被称之为直接型专家控制器和间接型专家控制器。所谓直接型专家控制器就是用专门设计的专家控制器直接对被控对象进行控制的方法。该控制器任务和功能都比较简单，一般都是实时在线运行，直接对被控对象进行控制。其结构图如下：

 

　　而所谓间接型专家控制器是指专家控制器作为其他控制器的辅助方式或者相互结合的控制方式来实现的一种控制器。专家系统通过高层决策来影响控制器输出，而这种高层决策可以是在线也可以是离线，器不会直接控制被控对象。其结构图如下：

 

　　所以我们所要讨论的专家PID算法应该是一种直接型专家控制器，因为专家系统决策与PID算法是结合在一起的，并没有独于PID算法的专家控制器，而是专家决策直接决定PID算法机器输出，这与直接型专家控制的定义是相符的。

2、专家PID的设计思路

　　专家PID控制就是基于被控对象和控制规律的各种知识，而不需要知道被控对象的精确模型，利用专家经验来设计PID参数。怎么来实现这一过程呢？我们来分析并推导这一算法。

　　我们假设当前为第k采样，当前偏差为e(k)，同样前一采样时刻的偏差为e(k-1)，而前两个采样时刻的偏差为e(k-1)，则可以得到两次的偏差增量为：

 

 　　清楚了以上公式，我们再设定偏差的一个极大值，记为Mmax；设定一个偏差较大的中间值，记为Mmid；设定一个偏差的极小值，记为Mmin。根据以上偏差、偏差增量以及偏差极值的设定，我们分析如下：

（1）如果|e(k)|>Mmax

　　这种情况说明偏差的绝对值已经很大了，不论偏差变化趋势如何，都应该考虑控制器的输入应按最大（或最小）输出，以达到迅速调整偏差的效果，使偏差绝对值以最大的速度减小。

 

　　这种情况下其实相当于实施开环控制，是一种对偏差出现极限情况的快速响应。

（2）如果|e(k)|≤Mmax

　　这种情况我们需要更具系统的变化趋势来分析，具体的情况实施不同的控制方式，我们引入偏差增量来协助分析。

（2.1）当e(k)*∆e(k)>0或者∆e(k)=0时

　　这种情况说明偏差在朝向偏差绝对值增大的方向变化，或者偏差为某一固定值，此时我们再判断偏差的绝对值与偏差的中间值Mmid之间的关系。

（2.1.1）此时如果|e(k)|>Mmid，说明偏差也较大，可考虑由控制器实施较强的控制作用，以达到扭转偏差绝对值向减小的方向变化，并迅速减小偏差的绝对值。

 

（2.1.2）此时如果|e(k)|≤Mmid，说明尽管偏差是向绝对值增大的方向变化，但是偏差绝对值本身并不是很大，可以考虑控制器实施一般的控制作用，只需要扭转偏差的变化趋势，使其向偏差绝对值减小的方向变化即可。

 

（2.2）当e(k)*∆e(k)<0且∆e(k)*∆e(k-1)>0或者e(k)=0时，说明偏差的绝对值向减小的方向变化，或者已经达到平衡状态，此时保持控制器输出不变即可。即：U(k)=U(k-1)。

（2.3）当e(k)*∆e(k)<0且∆e(k)*∆e(k-1)<0时，说明偏差处于极限状态。如果此时偏差的绝对值较大，|e(k)|>Mmid，可以考虑实施较强控制作用。

 

　　如果此时偏差绝对值较小，|e(k)|<Mmid，可以考虑实施较弱控制作用。

 

　　其中，k1为增益放大系数，k1取大于1的值；k2为增益抑制系数，取大于0而小于1的值。

（3）如果|e(k)|<Mmin

　　这种情况实际上说明偏差绝对值很小，这种偏差有可能是系统静差引起的，此时必须要引入积分作用，实施PID控制或者PI控制。

 

　　Kp和Ki可以适当减小，以减小控制作用。当偏差小到一定程度后，甚至可以引入死区的概念，是系统稳定下来而不需要去进行调节。

3、专家PID算法实现

　　前面我们了解了专家PID控制器的基本原理，并分析了一个较为常见的专家PID的控制规则。分析规则的过程其实也是一个推理的基本过程，所以我们得到了基本的规则库同时也有相应的推理机，接下来我们就来实现这一算法。

4、专家PID总结

　　本节我们实现了一个专家PID控制器，这是一种专家规则直接与PID算法相结合的直接型专家控制器。通过分析PID的调节过程总结了5条规则，以这5条规则为基础实现了上述的算法。当然这只是一个普遍型的规则库，对于不同的被控对象和控制要求，我们可以采用不同的判断规则，而且各参数的选取需依赖于专家经验，所以规则的获取和使用也会有不同方式。

12.模糊PID算法

在现实控制中，被控系统并非是线性时不变的，往往需要动态调整PID的参数，而模糊控制正好能够满足这一需求，所以在接下来的这一节我们将讨论模糊PID控制器的相关问题。模糊PID控制器是将模糊算法与PID控制参数的自整定相结合的一种控制算法。可以说是模糊算法在PID参数整定上的应用。

1、模糊算法的原理

　　模糊算法是一种基于智能推理的算法，虽然称之为模糊算法其实并不模糊，实际上是一种逐步求精的思想。一个模糊控制器主要是由模糊化，模糊推理机和精确化三个功能模块和知识库（包括数据库和规则库）构成的。在此我们近讨论模糊控制的几个主要问题。

1.1、输入量的量化

　　输入数据都是精确的，要实现模糊算法需要现对其实现量化。所谓量化就是通过量化函数将输入量投射到一定的数字级别，一般都是相对于0对称的数字区间。具体投射到怎样的区间根据实际情况而定，因为这会直接影响到计算的精度。

1.2、模糊化

　　模糊化是模糊算法非常重要的一步，首先确定对应各语言变量的模糊子集，然后根据量化的结果，我们就可以判断该输入所属的集合并计算出对应的隶属度。计算隶属度的方法有很多，最常用的是使用三角形隶属度函数或梯形隶属度函数等来计算获得。

1.3、规则库

　　规则库是基于控制量的模糊化而的味道的，是实现模糊推理的基础，很大程度上依赖于经验来完成。规则库的表现形式可以有多种，具体实现的形式根据我们实现的方便。

1.4、推理机

　　推理决策才是模糊控制的核心，它利用知识库中的信息和模糊运算方式，模拟人的推理决策的思想方法，在一定的输入条件下激活相应的控制规则给出适当的模糊控制输出。

1.5、精确化

　　我们通过模糊推理，得到一系列的模糊表达，需要进行解模糊操作才能得到紧缺的数据。常用的解模糊方法有：

• 最大隶属度法——计算简单，适用于控制要求不高场合。
• 重心法——输出更平滑，但计算难度大
• 加权平均法——一般在工业上应用最广泛

1.6、工程量化

　　系统控制输出是一个精确的数，但不是可以直接用于对象控制的物理量，所以在最后还要按照我们的需要进行转换。比如对应PID的参数则可进行必要的转换和修正在输出给PID控制器。

2、模糊PID算法的设计

　　前面简单的描述了模糊算法的基本原理，接下来我们将讨论如何将其应用于PID控制当中。所谓模糊PID控制是以偏差e及偏差的变化ec为输入，利用模糊控制规则在线对PID参数进行调整，以满足不同的偏差e和偏差的增量ec对PID参数的不同要求。其结构图如下：

 

2.1、输入值的模糊化

　　输入值的模糊化就是将用于计算的输入对应到标准化的数值区间，并根据量化结果和模糊化子集得到该输入对子集的隶属度。我们在使用偏差e和偏差增量ec作为输入实现控制参数调整则需要对e和ec进行模糊化。

　　首先，我们确定e和ec的模糊子集，对于PID控制我们选则：负大[NB]、负中[NM]、负小[NS]、零[ZO]、正小[PS]、正中[PM]、正大[PB]等7个语言变量就能够有足够精度表达其模糊子集。所以我们定义e和ec的模糊子集均为{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}。

　　确定了模糊子集，我们怎么将e和ec的具体值和模糊集对应上呢？我们需要引入量化函数。要确定量化函数，我们先引入e和ec模糊集对应的论域，定义为{-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}。对于任何一个物理量测量信号都有一个量程范围，我们记为Vmax和Vmin，和自然在PID调节时设定值的范围预期相同，所以偏差e的范围就是Vmin-Vmax到Vmax-Vmin的范围内，而偏差的增量范围则是其两倍。这里我们采用线性方式量化，则其函数关系为：

 

　　利用上述的量化函数就可以将e和ec量化，我们可以采用如4舍5入的方式获取确定的模糊子集。但考虑到e和ec的变化是连续变化的，4舍5入对控制精度可能存在影响，所以我们引入隶属度来实现这一过程。

　　最后我们确定e和ec在模糊子集上的隶属度。隶属度是一个介于0和1之间的值，用以描述对应一个输入属于某一个模糊自己的程度。一般我们描述成隶属度函数，可采用的隶属度函数很多，我们在次采用线性的隶属度函数，或者称为三角隶属度函数，其函数关系如下：

 

　　如果我们量化后的结果是1，那么属于ZO的隶属度为0.5，同样属于PS的隶属度也是0.5。至此，模糊化全部完成。

2.2、建立模糊规则表

　　前面我们简述了输入的模糊化，但模糊推理才是模糊控制的根本。为了实现模糊推理首先我们要建立模糊推理的规则库或者称知识库，然后建立推理机进行推理。

首先，我们来建立模糊规则库，在这里我们要对Kp、Ki和Kd三个参数进行调整，所以要建立这3个变量的模糊规则库。

（1）、Kp模糊规则设计

　　在PID控制器中，Kp值的选取决定于系统的响应速度。增大Kp能提高响应速度，减小稳态偏差；但是，Kp值过大会产生较大的超调，甚至使系统不稳定减小Kp可以减小超调，提高稳定性，但Kp过小会减慢响应速度，延长调节时间。因此，调节初期应适当取较大的Kp值以提高响应速度，而在调节中期，Kp则取较小值，以使系统具有较小的超调并保证一定的响应速度；而在调节过程后期再将Kp值调到较大值来减小静差，提高控制精度。基于上述描述我们定义Kp的模糊规则如下：

 

（2）、Ki模糊规则设计

　　在系统控制中，积分控制主要是用来消除系统的稳态偏差。由于某些原因(如饱和非线性等)，积分过程有可能在调节过程的初期产生积分饱和，从而引起调节过程的较大超调。因此，在调节过程的初期，为防止积分饱和，其积分作用应当弱一些，甚至可以取零；而在调节中期，为了避免影响稳定性，其积分作用应该比较适中；最后在过程的后期，则应增强积分作用，以减小调节静差。依据以上分析，我们制定的Ki模糊规则如下：

 

（3）、Kd模糊规则设计

　　微分环节的调整主要是针对大惯性过程引入的，微分环节系数的作用在于改变系统的动态特性。系统的微分环节系数能反映信号变化的趋势，并能在偏差信号变化太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快响应速度，减少调整时间，消除振荡．最终改变系统的动态性能。因此，Kd值的选取对调节动态特性影响很大。Kd值过大，调节过程制动就会超前，致使调节时间过长；Kd值过小，调节过程制动就会落后，从而导致超调增加。根据实际过程经验，在调节初期，应加大微分作用，这样可得到较小甚至避免超调；而在中期，由于调节特性对Kd值的变化比较敏感，因此，Kd值应适当小一些并应保持固定不变；然后在调节后期，Kd值应减小，以减小被控过程的制动作用，进而补偿在调节过程初期由于Kd值较大所造成的调节过程的时间延长。依据以上分析，我们制定Kd的模糊规则如下：

 

　　接下来，根据偏差E和偏差增量EC模糊化的结果以及规则库推理出∆Kp、∆Ki、∆Kd对应的模糊子集。由于前面我们设计的是采用隶属度函数来定义输入输出量在模糊子集的隶属度，所以推理出来的∆Kp、∆Ki、∆Kd的模糊子集通常是一个由模糊变量组成的矩阵。而输入量E和EC则是一个由模糊变量组成的向量。

　　最后，我们需要明确不同的模糊变量所对应的量化数据。这个量化数据与物理量的对应则根据具体的不同对象是完全不一样的。

2.3、解模糊处理

　　对于求得的目标对象，我们还需要将其你模糊处理以使其与具体的物理量相对应。在模糊PID调解中，我们需要的是Kp，Ki和Kd，所以我们需要根据模糊推理的结果得到我们想要的Kp，Ki和Kd值。

　　我们前面设计了三角隶属度函数，并采用相同的量化目标即论域{-6，6}，所以在某一时刻，输入输出所处的模糊变量的隶属度是相同的，基于这一基础，我们采用重心法计算各输出量的量化值。其公式如下：

 

　　其实因为我们采用的隶属度函数的特性，在任何方向的计算隶属度的和均为1，所以分母可以省略。于是每一个对象的计算实际上就是矩阵操作，公式如下：

 

　　如果使用的是量化值，则还需要转为实际值，关于这一点直接使用物理量值也是没问题的，怎么处理根据实际需要确定。得到增量后，我们也可以引入系数来放大和缩小Kp，Ki和Kd变化量，具体实现公式如下：，其中∆K为我们所计算得到的值，而α为系数，设定增量对最终只的影响。

3、模糊PID算法实现

　　前面我们描述了算法的全过程，接下来我们编码实现之。首先我们依然需要定义一个模糊PID控制器的结构对象。

4、总结

　　模糊PID算法是模糊算法在PID参数整定上的应用，与纯粹的模糊控制算法是有区别的。普通的模糊控制器适用于直接推理控制器的输出，而模糊PID算法使用模糊算法修改PID参数，最终的控制器输出依然是由PID控制器来实现的。

　　模糊控制本身是非常复杂且具体应用方式很多。大多是针对特定对象的专业控制器，已经脱离了PID这种通用性控制器的范畴。此外比较热门的还有模糊多变量控制器是属于先进控制系统（APC）的范畴，有机会再讨论。

13.单元神经PID算法

　神经网络是模拟人脑思维方式的数学模型。神经网络是智能控制的一个重要分支，人们针对控制过程提供了各种实现方式，在本节我们主要讨论一下采用单神经元实现PID控制器的方式。

1、单神经元的基本原理

　　单神经元作为构成神经网络的基本单位，具有自学习和自适应能力，且结构简单而易于计算。接下来我们讨论一下单神经元模型的基本原理。

（1）、单神经元模型

　　所谓单神经元模型，是对人脑神经元进行抽象简化后得到一种称为McCulloch-Pitts模型的人工神经元，如下图所示。

 

　　根据上图所示，对于第i个神经元，x₁、x₂、……、x_N是神经元接收到的信息，ω₁、ω₂、……、ω_N为连接强度，又称之为权。采用某种运算方式把输入信号的作用结合起来，得到他们总的结果，称之为“净输入”通常用net_i表示。根据所采用的运算方式的不同，净输入有不同的表示形式，比较常用的是线性加权求和，其表达式如下：

 

　　其中，θi是神经元i的阈值。

　　而神经元i的输出yi可以表示为其当前状态的函数，这个函数我们称之为激活函数。一般表示如下：

 

（2）、采用的学习规则

　　学习是神经网络的基本特征，而学习规则是实现学习过程的基本手段。学习规则主要实现对神经元之间连接强度的修正，即修改加权值。而学习过程可分为有监督学习和无监督学习两类。它们的区别简单的说，就是是否引入期望输出参与学习过程，引入了则称之为有督导学习。较为常用的学习规则有三种：

a、无监督Hebb学习规则

　　Hebb学习是一类相关学习，它的基本思想是：如果神经元同时兴奋，则它们之间的连接强度的增强与它们的激励的乘积成正比。以Oi表示单元i的激活值，以Oj表示单元j的激活值，以ωij表示单元j到单元i的连接强度，则Hebb学习规则可用下式表示：

 

b、有监督Delta学习规则

　　在Hebb学习规则中，引入教师信号，将式Oj换成网络期望目标输出dj和网络实际输出Oj之差，即为有监督Delta学习规则，即：

 

c、有监督Hebb学习规则

　　将无监督Hebb学习规则和有监督Delta学习规则两者结合起来，就组成有监督Hebb学习规则，即：

 

　　在以上各式中，η称之为学习速度。

2、单神经元PID的基本原理

　　在前面我们说明了单神经元的基本原理，接下来我们讨论如何将其应用的PID控制中。前面我们已经知道了神经元的输入输出关系，在这里我们考虑PID算法的增量型表达式：

 

　　若是我们记：x1(k)=err(k)，x2(k)=err(k)- err(k-1)，x3(k)=err(k)- 2err(k-1)+err(k-2)，同时将比例、积分、微分系数看作是它们对应的加权，并记为ωi(k)。同时我们引进一个比例系数K，则可将PID算法的增量型公式改为：

 

　　其中，

　　我们将PID的增量公式已经改为单神经元的输入输出表达形式，还需要引进相应的学习规则就可以得到单神经元PID控制器了。在这里我们采用有监督Hebb学习规则于是可以得到学习过程：

 

　　从学习规则的定义，我们知道在上式中，Z(k)= err(k)。而U(k)= U(k-1)+∆U(k)，ω(k)= ω(k-1)+∆ω(k)。到这里实际上已经得到了单神经元PID的算法描述。

3、单神经元PID的软件实现

　　有了前面的准备，我们就可以开始编写基于单神经元的PID控制程序了。

4、单神经元PID总结

　　前面我们已经分析并实现了单神经元PID控制器，在本节我们来对它做一个简单的总结。

　　与普通的PID控制器一样，参数的选择对调节的效果有很大影响。对单神经元PID控制器来说，主要是4个参数：K、ηp、ηi、ηd，我们总结一下相关参数选取的一般规律。

　　（1）对连接强度（权重ω）初始值的选择并无特殊要求。

　　（2）对阶跃输入，若输出有大的超调，且多次出现正弦衰减现象，应减少增益系数K，维持学习速率ηp、ηi、ηd不变。若上升时间长，而且无超调，应增大增益系数K以及学习速率ηp、ηi、ηd。

　　（3）对阶跃输入，若被控对象产生多次正弦衰减现象，应减少比例学习速率ηp，而其它参数保持不变。

　　（4）若被控对象响应特性出现上升时间短，有过大超调，应减少积分学习速率ηi，而其它参数保持不变。 

　　（5）若被控对象上升时间长，增大积分学习速率ηi又会导致超调过大，可适当增加比例学习速率ηp，而其它参数保持不变。

　　（6）在开始调整时，微分学习速率ηd应选择较小值，在调整比例学习速率ηp、积分学习速率ηi和增益系数K使被控对象达到较好特性后，再逐渐增加微分学习速率ηd，而其它参数保持不变。

　　（7）K是系统最敏感的参数，K值的变化相当于P、I、D三项同时变化。应在开始时首先调整K，然后再根据需要调整学习速率。

　　在单神经元PID控制器中，上述这些参数对调节效果的影响如何呢？一般情况下具有如下规律。

　　（1）在积分学习率、微分学习率不变的情况下，比例系数学习率越大则超调量越小，但是响应速度也会越慢；

　　（2）在比例学习率、微分学习率不变的情况下，积分系数学习率越大则响应会越快，但是超调量也会越大。

　　（3）在比例学习率、积分学习率不变的情况下，微分学习率对单神经元PID控制器的控制效果影响不大。

　　最后我们需要明白，单神经元PID算法是利用单神经元的学习特性，来智能的调整PID控制过程。单神经元可以实现自学习，这正好可以弥补传统PID算法的不足。正如前面所说，学习是它的最大特点，那么不同的学习算法对其性能的影响会很大，所以改进学习规则算法对提高性能有很大帮助。

 

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