Z变换

 Z变换(Z-transform) 将离散系统的时域数学模型——差分方程转化为较简单的频域数学模型——代数方程，以简化求解过程的一种数学工具。Z是个复变量，它具有实部和虚部，常常以极坐标形式表示，以Z的实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面称为Z平面，即离散系统的复域平面。离散信号系统的系统函数（或者、称传递函数）一般均以该系统对单位抽样信号的响应的Z变换表示。由此可见，Z变换在离散系统中的地位与作用，类似于连续系统中的拉氏变换。

从数学的角度来看，Z变换只是信号的一种替代表示。

对于离散信号x(n),其Z变换定义如下：

将复变量z表示成极坐标形式：

Z平面为横坐标为Z变量的虚部纵坐标为Z变量实部：

Z变换公式中，令 ，可以得到离散序列的傅里叶变换与Z变换的关系：

线性：

时移：

 Z变换的收敛域ROC(Region of Covergence):

对于给定的序列x[n]满足条件

Z反变换：

部分分式展开，

对于有理函数形式的X(z),可表示成：

若M<N,并且所有的极点是一阶的，可进行部分和展开成为：

对于

零点为0，极点为a.

收敛条件为：

收敛域为：

 |a|<1, x[n]收敛，|a|=1,等幅震荡， |a|>1, 发散 

 在 z 平面上，系统函数的极点可能位于单位圆内、单位圆上或者单位圆外。对于一个因果系统而言，如果极点位于单位圆内，冲激响应的将随 n 值的增大而衰减；如果极点在单位圆上，冲激响应的将不随 n 值的大小而改变，它是一个等幅的变化；如果极点在单位圆外，冲激响应的将随 n 值的增大而增大。

系统函数：

设系统的N阶线性常系数差分方程为

双边Z变换：

H(Z)被称为系统函数。

对H(Z)进行Z逆变换即得到单位采样响应。

对于该系统其他输入信号的响应，可以将输入信号进行Z变换然后乘以H(Z),再进行Z逆变换。

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