利用向量积(叉积)计算三角形的面积和多边形的面积:
向量的数量积和向量积:
(1) 向量的数量积
(1) 向量的向量积
两个向量a和b的叉积(向量积)可以被定义为:
在这里θ表示两向量之间的角夹角(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量 所定义的平面上。
向量积的模(长度)可以解释成以a和b为邻边的平行四边形的面积。求三角形ABC的面积,根据向量积的意义,得到:
a=axi+ayj+azk;
b=bxi+byj+bzk;
a×b=(aybz-azby)i+ (azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,为了帮助记忆,利用三阶行列式,写成:
计算任意多边形的面积:(顶点按逆时针顺序排列)
求多边形面积最基础的方法就是用剖分法来做的,就是把多边形分成若干个三角形,然后对每个三角形求面积,求面积,在有精度要求的情况下,不要用海伦-秦九昭公式,海伦公式可能在精度损失方面会比较严重,而且计算量很大。
最适合解决任意多边形面积的方法是: 向量积法 。
顶点为Pk(k=1,2,3…n)的多边形,其顶点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)…(xn,yn)。
在计算几何里,我们知道,△ABC的面积就是“向量AB”和“向量AC”两个向量叉积的绝对值的一半。其正负表示三角形顶点是在右手系还是左手系。
hdu 2036:改革春风吹满地(叉积求凸多边形面积)
改革春风吹满地
**Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 16308 Accepted Submission(s): 8316
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Problem Description
“ 改革春风吹满地,不会AC没关系;实在不行回老家,还有一亩三分地。谢谢!(乐队奏乐)”话说部分学生心态极好,每天就知道游戏,这次考试如此简单的题目,也是云里雾里,而且,还竟然来这么几句打油诗。好呀,老师的责任就是帮你解决问题,既然想种田,那就分你一块。这块田位于浙江省温州市苍南县灵溪镇林家铺子村,多边形形状的一块地,原本是linle 的,现在就准备送给你了。不过,任何事情都没有那么简单,你必须首先告诉我这块地到底有多少面积,如果回答正确才能真正得到这块地。发愁了吧?就是要让你知道,种地也是需要AC知识的!以后还是好好练吧…
Input
输入数据包含多个测试实例,每个测试实例占一行,每行的开始是一个整数n(3<=n<=100),它表示多边形的边数(当然也是顶点数),然后是按照逆时针顺序给出的n个顶点的坐标(x1, y1, x2, y2… xn, yn),为了简化问题,这里的所有坐标都用整数表示。输入数据中所有的整数都在32位整数范围内,n=0表示数据的结束,不做处理。
Output
对于每个测试实例,请输出对应的多边形面积,结果精确到小数点后一位小数。每个实例的输出占一行。
Sample Input
3 0 0 1 0 0 1
4 1 0 0 1 -1 0 0 -1
0
Sample Output
0.5
2.0
思路
s=S123+S134+S145+S156+S167+S178
>在坐标系下,三角形面积公式如下。可按向量思路。
S=(double)(x2*y3+x1*y2+x3*y1-x3*y2-x2*y1-x1*y3)/2.0;
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 int main()
4 {
5 int n,x1,x2,x3,y1,y2,y3,i;
6 double s;
7 int x[100];
8 int y[100];
9 while(scanf("%d",&n)&&n)
10 {
11 s=0;
12 for(i=0;i<n;i++)
13 {
14 scanf("%d",&x[i]);
15 scanf("%d",&y[i]);
16 }
17 x1=x[0];
18 y1=y[0];
19 for(i=1;i<n-1;i++)
20 {
21 x2=x[i];
22 y2=y[i];
23 x3=x[i+1];
24 y3=y[i+1];
25 s+=(double)(x1*y2+x2*y3+x3*y1-x3*y2-x2*y1-x1*y3)/2.0;
26 }
27 printf("%.1lf\n",s);
28 }
29 return 0;
30 }
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