《空间谱估计理论与算法》学习笔记005-信号源数估计「建议收藏」

2.5 信号源数估计

大多数空间谱估计算法都基于特征子空间算法，充分利用信号子空间与噪声子空间的正交性，当信号源数估计不准时，导致信号子空间、噪声子空间估计不准，两只不能完全正交，就会造成估计信号源时的漏警或虚警，造成估计信号方向时的偏差。因此，只有准确估计信号源数才能有效地获得信号源方向。

2.5.1 信息论方法

信息论方法有一个统一的表达形式
$$J(k)=L(k)+P(k)$$

式中，$L(k)$是对数似然函数，$P(k)$是罚函数。通过对$L(k)$和$P(k)$的不同选择就可以得到不同的准则。下面介绍EDC信息论准则，有
$$\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{C}(n)=L(M-n)\ln \Lambda (n)+n(2M-n)C(L)$$

式中，$n$为带估计的信号源数（自由度），$L$为采样数，其中$\Lambda (n)$为似然函数，且
$$\Lambda (n)=\frac{\frac{1}{M-n}{\sum }_{i=n+1}^M{\lambda }_i}{({\prod }_{i=n+1}^n{\lambda }_i{)}^{\frac{1}{M-n}}}$$

$C(L)$需满足如下条件：
$$\begin{gathered} (1)\underset{L\to \infty }{\lim }(C(L)/L)=0 \\ (2)\underset{L\to \infty }{\lim }(C(L)/\ln \ln L)=\infty \end{gathered}$$

当$C(L)$满足上述条件时，准则EDC具有估计一致性。
当$C(L)$分别选择$1$，$(\ln L)/2$及$(\ln \ln L)/2$可以得到AIC，MDL及HQ等准则
$$\mathrm{A}\mathrm{I}\mathrm{C}(n)=2L(M-n)\ln \Lambda (n)+2n(2M-n)$$

$$\mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{L}(n)=L(M-n)\ln \Lambda (n)+\frac{1}{2}n(2M-n)\ln L$$

$$\mathrm{H}\mathrm{Q}(n)=L(M-n)\ln \Lambda (n)+\frac{1}{2}n(2M-n)\ln \ln L$$

仿真结论：
（1）AIC准则不是一致性估计，即在大快拍数的场合，它仍然有较大的误差概率；MDL准则相对较好，HQ准则居于两者之间，是由准则中的罚函数项引起的。
（2）MDL准则是一致性估计，也就是在高信噪比情况下该准则有较好的性能，但小信噪比情况下该准则相比AIC有高的误差概率。
（3）EDC准则中$C(L)$取下式时：
$$C(L)=\ln L^{1/2}=\frac{1}{2}\ln L$$

EDC准则就是MDL准则，所以说MDL准则时EDC准则的特例。
（4）EDC准则中$C(L)$取下式时：
$$C(L)=\frac{1}{2}\ln \ln L$$

EDC准则就是HQ准则，所以说HQ准则时EDC准则的特例。从低信噪比角度而言，HQ准则最优，其次是AIC。

2.5.2 平滑秩序列法

阵列对信号的分辨能力，阵元数M应大于独立源数，即$M\ge K+1$；对于前向（后向）空间平滑法，应满足$M\ge K+J_1$，式中$K$是总源数，$J_1$是相关源数目；对于双向平滑算法
$$M\ge K+\frac{1}{2}{J}_1$$

平滑秩序列法是相关结构检测的方法。
设${R\text{R}R}_0$是$M\times M$维矩阵，$k$是正整数，定义一个$(M-k)\times M$维矩阵${I\text{I}I}_{M-k,j}$
$${I\text{I}I}_{M-k,j}=\left[\begin{array}{ccccccc}0\text{0}0& \cdots & 0\text{0}0& I\text{I}I& 0\text{0}0& \cdots & 0\text{0}0\end{array}\right]$$

它的前$j$列和后$k-j$列为$0\text{0}0$矢量，$I\text{I}I$为单位矩阵。将${R\text{R}R}_0$分成交叉重叠矩阵 { R 0 ( i ) } i = 1 M − 1 \{\pmb{R}_0^{(i)}\}_{i=1}^{M-1} {
RRR0(i)​}i=1M−1​，即
$${R\text{R}R}_0^{(k)}=\frac{1}{k+1}\sum _{i=0}^k{I\text{I}I}_{M-k,i}{R}_0{I\text{I}I}_{M-k,i}^T,k=1,2,\cdots ,M-1$$

上式中的交叉重叠矩阵序列实质上是前向空间平滑矩阵。假设信号源由$L$组相关源的群组成，分别为$g_i(i=1,2,\cdots ,L)$，如$i=1$则表明该群是单个独立信号，$i=3$表面该群有三个相干源，$L$是最大的相关源数。若$g_2=3$则说明有三个相关群，每个群里有两个相干源。则相关群的数目为
$$Q=\sum _{i=1}^L{g}_i$$

总信号源数为
$$K=\sum _{q=1}^Q{f}^{}$$

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