学术-几何-维-四维几何：超正方体（几何中的思维方体）

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超正方体，在几何学中
四维方体
是立方体的四维类比，四维方体之于立方体，就如立方体之于
正方形，四维方体
是四维凸正多胞体，
有8个立方体胞，立方体
维数大于3推广的是超立方体或测度多胞体。

点动成线，线动成面，面动成体，正方体动成超立方体。

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1、

中文名：超正方体外文名：Tesseract 别称：超立方体或正八面体

性质：四维空间里的几何产物特点：无2维距离、角度概念所属学科：四维几何学

概述

超立方体，又被称为
正八胞体(8-cell,Regular octachoron)，
立方体柱(Cubic prism)，
4-4边形柱(4-4 duoprism)，是
一个四维空间里的几何产物

需要说一下“超立方体”的英文应该是Tesseract而不是Hypercube，Hypercube在英文维基百科上是指N维立方体（一维的线段，二维的正方形，三维的立方体）的总称。

投影

施莱格尔

四维方体不易想象，但可以投射至3维或2维空间。在2维平面的投射，把顶点位

图1

置调整后，可以了解更多。如此获得的图像，不再反映四维方体空间构造，而是反映顶点间的联系。

我们看到的三维物体是经过一次投影之后呈现在
视网膜上，但四维立方体不能通过普通投影的方式让人们看见，只能先投影成三维的物体，再经过一次投影才能呈现在视网膜上。

对于生活在
三维空间的人类来说，
四维世界是很神秘的概念。正像生活在
二维世界里的小人（如果存在的话）很难想象三维世界一样，我们同样难于想象四维世界。不过也
正像我们可以通过研究三维物体在
二维物体上的投影来研究想象三维物体一样，我们也可以通过
四维物体在三维世界中的
立体图形投影来研究四维世界。

图1 所示的是一个
立方体在二维世界中的投影（事实上投影应当是普通的正方形，图为二维生物可能的想象图）。二维小人多多少少可以通过这些投影来想象那个“三维立方体”的神秘图形。他们可以数出这个

图2

立方体有8个顶点，12条边，6个面。可以看到图1的样子像是一个大正方形套一个小正方形，那我们用一点类比的思维，把一个大立方体“套住”一个小立方体，这就得到一个超正方体的一种
三维投影（当然图2是它的三维投影）

在
二维世界里（不考虑时间轴）要把不透明图形简化的只有顶点（二维物体中的零维框架）之后二维（如果存在）小人才能看得到内部，在我们在三维世界里要简化到棱长（三维物体中的一维框架）才能看到物体内部。所以二维小人（如果存在）研究三维立方体只会先把三维立方体的顶点投影在二维平面上，在投影成一条一位的直线。

正如图1的投影中，
立方体的六个面也要把最外部的正方形也要算进去，超正方体表面的八个立方体也包括“最外部”的那一个

可以知道，超正方体有8个胞（立方体）、24个面（
正方形）、32条棱和16个顶点

值得说一下的是，在图2中，投影后一大一小两个立方体的边长比正好是3:1，这个是通过计算得到的。

思维方式

如果四维超正方体不太好想象的话，我们换成球试试吧。三维球嘛，无论从哪个方向投影在
二维平面上都只是一个半径等同的圆形，这样我们就很容易想到
四维球在三维世界中的投影只不过是一个半径等同的球了。如果还想要讨论得深入一些，不妨试试球穿越问题。比如说一个球穿过一个二维平面，二维小人会发现平面上凭空冒出一个慢慢变大的点，后来眼看着扩张成
圆，又慢慢缩小成点，最后突然消失。如果这个令二维小人惊讶不已的事实让你并不觉得奇怪，那么以下的情形你定会吃惊不小；在你面前无中生有地出现一个点，扩成球又缩回点，再突然消失。多么神奇！其实这只不过是四维球穿越三维世界的情形。

这里讲一种思维方式，当你不能够理解四维的某些描述的时候，试着把自己当作二维人生活在扁平的世界里看三维(你能够理解，但是你的描述是受限的)。

简单描述：1、超立方体无2维距离、
角度概念。

2、超立方体中任何一顶点以恒定速度到相邻顶点所用时间相等。(所有边长相等)