【算法】10亿int型数，统计只出现一次的数

题目

10亿int整型数，以及一台可用内存为1GB的机器，时间复杂度要求O(n)，统计只出现一次的数？

分析

首先分析多大的内存能够表示10亿的数呢？一个int型占4字节，10亿就是40亿字节（很明显就是4GB），也就是如果完全读入内存需要占用4GB，而题目只给1GB内存，显然不可能将所有数据读入内存。

我们先不考虑时间复杂度，仅考虑解决问题。那么接下来的思路一般有两种。

1. 位图法：用一个bit位来标识一个int整数。
2. 分治法：分批处理这10亿的数。

一种是位图法，如果各位老司机有经验的话很快会想到int整型数是4字节（Byte），也就是32位（bit），如果能用一个bit位来标识一个int整数那么存储空间将大大减少。另一种是分治法，内存有限，我想办法分批读取处理。下面大致分析一下两种思路。

1、位图法（Bitmap）

位图法是基于int型数的表示范围这个概念的，用一个bit位来标识一个int整数，若该位为1，则说明该数出现；若该位为0，则说明该数没有出现。一个int整型数占4字节（Byte），也就是32位（bit）。那么把所有int整型数字表示出来需要2^32 bit位的空间，为了方便，我们可以把这些信息每8bit分割保存为byte数组，换算成字节单位也就是2^32 bit/8 = 2^29 Byte，大约等于512MB

// 插播一个常识
2^10 Byte = 1024 Byte = 1KB
2^30 Byte = (2^10)^3 Byte = 1024 * 1024 * 1024 Byte = 1GB

这下就好办了，只需要用512MB的内存就能存储所有的int的范围数。

具体方案

那么接下来我们只需要申请一个int数组长度为 int tmp[N/32+1]即可存储完这些数据，其中N代表要进行查找的总数（这里也就是2^32），tmp中的每个元素在内存在占32位可以对应表示十进制数0~31,所以可得到BitMap表:

• tmp[0]:可表示0~31
• tmp[1]:可表示32~63
• tmp[2]可表示64~95
• ~~

假设这10亿int数据为：6,3,8,32,36,……，那么具体的BitMap表示为：

(1). 如何判断int数字放在哪一个tmp数组中：将数字直接除以32取整数部分(x/32)，例如：整数8除以32取整等于0，那么8就在tmp[0]上；

(2). 如何确定数字放在32个位中的哪个位：将数字mod32取模(x%32)。上例中我们如何确定8在tmp[0]中的32个位中的哪个位，这种情况直接mod上32就ok，又如整数8，在tmp[0]中的第8 mod上32等于8，那么整数8就在tmp[0]中的第八个bit位（从右边数起）。

然后我们怎么统计只出现一次的数呢？每一个数出现的情况我们可以分为三种：0次、1次、大于1次。也就是说我们需要用2个bit位才能表示每个数的出现情况。此时则三种情况分别对应的bit位表示是：00、01、11

我们顺序扫描这10亿的数，在对应的双bit位上标记该数出现的次数。最后取出所有双bit位为01的int型数就可以了。

Bitmap拓展

位图（Bitmap）算法思想比较简单，但关键是如何确定十进制的数映射到二进制bit位的map图。

优点：

1. 运算效率高，不许进行比较和移位；

2. 占用内存少，比如N=10000000；只需占用内存为N/8=1250000Byte=1.25M

缺点：所有的数据不能重复。即不可对重复的数据进行排序和查找。

建立了Bit-Map之后，就可以方便的使用了。一般来说Bit-Map可作为数据的查找、去重、排序等操作。比如以下几个例子：

1、在3亿个整数中找出重复的整数个数，限制内存不足以容纳3亿个整数

对于这种场景可以采用2-BitMap来解决，即为每个整数分配2bit，用不同的0、1组合来标识特殊意思，如00表示此整数没有出现过，01表示出现一次，11表示出现过多次，就可以找出重复的整数了，其需要的内存空间是正常BitMap的2倍，为：3亿*2/8/1024/1024=71.5MB。

具体的过程如下：扫描着3亿个整数，组BitMap，先查看BitMap中的对应位置，如果00则变成01，是01则变成11，是11则保持不变，当将3亿个整数扫描完之后也就是说整个BitMap已经组装完毕。最后查看BitMap将对应位为11的整数输出即可。

2、对没有重复元素的整数进行排序

对于非重复的整数排序BitMap有着天然的优势，它只需要将给出的无重复整数扫描完毕，组装成为BitMap之后，那么直接遍历一遍Bit区域就可以达到排序效果了。

举个例子：对整数4、3、1、7、6进行排序：

直接按Bit位输出就可以得到排序结果了。

3、已知某个文件内包含一些电话号码，每个号码为8位数字，统计不同号码的个数

8位最多99 999 999，大概需要99m个bit，大概10几m字节的内存即可。可以理解为从0-99 999 999的数字，每个数字对应一个Bit位，所以只需要99M个Bit==1.2MBytes，这样，就用了小小的1.2M左右的内存表示了所有的8位数的电话。

4、2.5亿个整数中找出不重复的整数的个数，内存空间不足以容纳这2.5亿个整数

将bit-map扩展一下，用2bit表示一个数即可：0表示未出现；1表示出现一次；2表示出现2次及以上，即重复，在遍历这些数的时候，如果对应位置的值是0，则将其置为1；如果是1，将其置为2；如果是2，则保持不变。或者我们不用2bit来进行表示，我们用两个bit-map即可模拟实现这个2bit-map，都是一样的道理。

最后放一个使用Byte[]数组存储、读取bit位的示例代码，来自利用位映射原理对大数据排重：

class BitmapTest {

    private static final int CAPACITY = 1000000000;//数据容量

    // 定义一个byte数组缓存所有的数据
    private byte[] dataBytes = new byte[1 << 29];

    public static void main(String[] args) {
        BitmapTest ms = new BitmapTest();

        byte[] bytes = null;

        Random random = new Random();
        for (int i = 0; i < CAPACITY; i++) {
            int num = random.nextInt();
            System.out.println("读取了第 " + (i + 1) + "\t个数: " + num);
            bytes = ms.splitBigData(num);
        }
        System.out.println("");
        ms.output(bytes);
    }


    /** * 读取数据，并将对应数数据的 到对应的bit中，并返回byte数组 * @param num 读取的数据 * @return byte数组 dataBytes */
    private byte[] splitBigData(int num) {

        long bitIndex = num + (1l << 31);         //获取num数据对应bit数组（虚拟）的索引
        int index = (int) (bitIndex / 8);         //bit数组（虚拟）在byte数组中的索引
        int innerIndex = (int) (bitIndex % 8);    //bitIndex 在byte[]数组索引index 中的具体位置

        System.out.println("byte[" + index + "] 中的索引：" + innerIndex);

        dataBytes[index] = (byte) (dataBytes[index] | (1 << innerIndex));
        return dataBytes;
    }

    /** * 输出数组中的数据 * @param bytes byte数组 */
    private void output(byte[] bytes) {
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < bytes.length; i++) {
            for (int j = 0; j < 8; j++) {
                if (!(((bytes[i]) & (1 << j)) == 0)) {
                    count++;
                    int number = (int) ((((long) i * 8 + j) - (1l << 31)));
                    System.out.println("取出的第 " + count + "\t个数: " +  number);
                }
            }
        }
    }

}

2、分治法

分治法目前看到的解决方案有哈希分桶（Hash Buckets）和归并排序两种方案。

哈希分桶的思想是先遍历一遍，按照hash分N桶（比如1000桶），映射到不同的文件中。这样平均每个文件就10MB，然后分别处理这1000个文件，找出没有重复的即可。一个相同的数字，绝对不会夸文件，有hash做保证。因为算法具体还不甚了解，这里先不做详细介绍。

归并排序的思想可以参考这篇文章：面试题之10亿正整数问题续–关于多通道排序的问题

参考资料

1. 程序员编程艺术：第十章、如何给10^7个数据量的磁盘文件排序
2. 面试题之10亿正整数问题续–关于多通道排序的问题
3. 利用位映射原理对大数据排重
4. 十道海量数据处理面试题与十个方法大总结
5. 海量数据处理之BitMap

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