不等式解集怎么取_数分笔记——待定系数法证积分不等式

本文是数分笔记的第(4)篇. 这篇讲讲怎么证明一类积分不等式.

我觉得，证明一个命题最简洁而逼格最高的方法就是构造性证明. 下面我们来讲讲怎么构造来证一种积分不等式.(主要是关于函数的

范数的不等式)

参考书：梅加强《数学分析》.

推荐阅读：

(1) @梓陌 的文章. 有几道题从这里面拿来的

梓陌：定积分不等式套路总结​zhuanlan.zhihu.com

(2) @Hoganbin 的《积分不等式葵花宝典》（第3.0版本）

Hoganbin：积分不等式葵花宝典​zhuanlan.zhihu.com

题目

设

则

证明：设

则由Cauchy-Schwarz不等式,

易知

则移项可得

QED

怎么样，看起来是不是很简单，构造个多项式

然后用Cauchy-Schwarz不等式一下子就出来了! 考试这样写，不仅正确，而且有很高的bigger！同样还可以证明：

设

则

证明：见文章最后. QED

下面我们来说说这些匪夷所思的多项式是怎么搞出来的. 我们从简单的例子说起.

例1 设

是Riemann可积函数, 满足

证明:

证明：设

则

则由Cauchy-Schwarz不等式,

由于

则化简即可得欲证不等式. QED

我们来探讨这个

是怎么来的.

分析：如果设

是多项式, 则由Cauchy-schwarz不等式,

由于

要保证不等号右边只含

则

最多只能是

一次多项式，即

记

于是

比较欲证命题的系数可知

化简得

因此可以让

即可. QED

例2 设

满足

则

分析：设

是多项式, 则由Cauchy-schwarz不等式与分部积分公式,

观察欲证不等式, 我们要让

只需让

从而

是一次多项式. 那么比较系数可知

化简得

于是让

即可. QED

例3 设

满足

则

证明：同例1, 考虑

用分部积分，然后设

是一次多项式. 最终构造

例4 设

则

证明：观察不等号的右边为

由Cauchy-Schwarz不等式与分部积分,

这里的

是个

分段的多项式, 观察可知

即可完成证明. QED

回到正题

例5 设

则

这题

得出来的方法用到了“平方逼近”的思想(数值分析里面的一种方法). 设

是个多项式, 待定系数, 则根据前面的证明步骤, 分部积分三次以后得到

我们要保证

恒为常数, 所以设

是三次多项式. (最高次项系数对不等式没有影响, 那么我们设

是首一多项式)

并且保证

取得最小. 记

如果要让

取最小, 必定有

即得

解这个关于

的线性方程组得到

因此

就是我们要找的多项式, 验证得到

注：当然这个可以从

推广到

但是注意上面的线性方程组的系数矩阵是

Hilbert矩阵! 它的条件数非常大, 用计算机是没法解决的.

例6 设

则

证明：与前面一题相同，令

即可. QED

下面命题出自《积分不等式葵花宝典》，我还没验证它是否正确.

命题 设

满足

且

则