机器学习中正则化项L1和L2的直观理解「建议收藏」

正则化（Regularization）

机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作 ${\ell }_1$-norm 和 ${\ell }_2$-norm，中文称作 L1正则化 和 L2正则化，或者 L1范数 和 L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项$\alpha ||w|{|}_1$即为L1正则化项。

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项$\alpha ||w|{|}_2^2$即为L2正则化项。

一般回归分析中$w$表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

• L1正则化是指权值向量$w$中各个元素的绝对值之和，通常表示为$||w|{|}_1$
• L2正则化是指权值向量$w$中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为$||w|{|}_2$

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python的机器学习包sklearn中用$\alpha$表示，一些文章也用$\lambda$表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。

• L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
• L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

稀疏模型与特征选择的关系

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

L1和L2正则化的直观理解

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

正则化和特征选择的关系

假设有如下带L1正则化的损失函数：
$$J=J_0+\alpha \sum _w|w|\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中$J_0$是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，$\alpha$是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，$J$是带有绝对值符号的函数，因此$J$是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数$J_0$后添加L1正则化项时，相当于对$J_0$做了一个约束。令$L=\alpha {\sum }_w|w|$，则$J=J_0+L$，此时我们的任务变成在$L$约束下求出$J_0$取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值$w^1$和$w^2$，此时$L=|w^1|+|w^2|$。对于梯度下降法，求解$J_0$的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数$L$也可以在 w 1 w 2 w^1w^2

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